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Abb.3.3: Schematische Darstellung der Neuronenschicht in Kohonens Modell.
№ = w n v i+ 'Zgrs ff - °)- (3-2)
/ r’
Häufig ist diese durch g rr . bewirkte Rückkopplung vom Typ der "Umfeldhemmung" (laterale
Inhibition), d.h. sie ist für kurze Distanzen erregend (g rr >0) (exzitatorisch), für lange Distan
zen dagegen hemmend (g rr .<0) (inhibitorisch). Die Kopplungsstärke als Funktion der Distanz
besitzt die Form einer "Mexikanerhut-Funktion" [Brause 91]. Es läßt sich zeigen, daß der
Effekt einer (ausreichend starken) Umfeldhemmung g rr - in der Herausbildung räumlich in der
Nähe der maximalen äußeren Erregung lokalisierter Erregungsantworten als Lösungen von
[3.2] besteht. Im Falle einer stetigen sigmoiden Funktion ergibt sich ein räumlicher Erre
gungsverlauf, der an einer Stelle r’ sein Maximum besitzt und von dort nach allen Richtun
gen allmählich auf Null abnimmt, r’ wäre durch numerisches Lösen von [3.2] zu erhalten.
Anstelle dieses aufwendigen Schritts macht Kohonen in seinem Modell eine Näherungs
annahme und nimmt für r’ ersatzweise den Ort maximaler Erregung aufgrund der Eingangs
signale v, allein, d.h. r’ bestimmt sich aus
^ w r .,v, = max ^ w r ,v, (3.3)
i r i
Unter den beiden Voraussetzungen, daß die "Gesamtsynapsenstärke" per Neuron (Z,w r | 2 )' /2
konstant und für jedes Neuron dieselbe ist, und daß alle Eingangssignale v gleiche "Intensi
tät" |v¡1 = 1 haben, liefert die mathematisch oft bequemere Bedingung
||Hv-v|| = min|K-v|| (3.4)
r
dasselbe Ergebnis für r’. Dabei steht die Metrik ||x|| für die euklidische Vektornorm (Xa, 2 )' 72
und die Größe w r := (w rl , w r2 ,... w rd ) T faßt die Synapsenstärken von Neuron r zusammen. Für
feste Synapsenstärken definiert [3.4] eine nichtlineare Projektion des Raums der Eingangs
signale auf die zweidimensionale Schicht.
Jedes Eingangssignal bewirkt an Synapse w rl ein Zusammentreffen der präsynaptischen
Aktivität v, mit der aus [3.2] resultierenden postsynaptischen Aktivität von Neuron r. Die
postsynaptische Aktivität von Neuron r ist gerade der Wert der Erregungsantwort der Schicht
