Thorade, H.: Beständigkeit und Streuung bei Strömen.
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hier ist einzusetzen w%= u? +v% a==aretg u/v, Dann hat man, wenn für den
Augenblick w den vektoriellen Mittelwert | ü?--7 und a dessen Richtung angibt,
mE = + (Ca 20,3? + Cr 00.2] = (p0,, Sin 0) + (ni..c08 a)*
+3 (mE + mn) — 3 m2)e0s2 a,
8 = A Kr mg) + (0 00,)* == 0, 008 6)* + (10, sin a)"
= Song + mi) 4-4 (mi — mi) cos 2 a].
Für das behandelte Beispiel wird
Ms 42607, mn, = L01831= 410.80,
wie die Abb. 1 veranschaulicht.
4. Die Fehlerellipse, — So sehr es angemessen erscheinen mag, den Strom
und damit auch die mittlere Streuung durch Geschwindigkeit und Richtung zu
bezeichnen, so wäre es doch eine Täuschung, zu glauben, daß damit beide weniger
willkürlich gekennzeichnet seien als durch Angabe der rechtwinkligen Komponenten,
Dem Wesen der Fehlerverteilung entsprechende Zahlenwerte erhält man erst,
wenn. man die Lehren der Ausgleichsrechnung für zweifache Fehler in der Ebene
heranzieht*), Danach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Fehlerpaar Au, dy
innerhalb des Flächenstückechens dAu,dÄAv (wofür man auch du, dv schreiben
kann, da &. und > ja konstant sind) falle, gleich
ddr = DLe mp aDO aq
% ; }
wo die Zahlen A, B, C, D sich aus den mittleren Fehlern ergeben:
A = m}/2 (mi ni — Di), BE — mini — mi, = nn
D = AC—B? = 1/4 (m m. —m2).
Nach der Schwarzschen Ungleichung ist stets mäy kleiner als mi-m5, der
Nenner daher positiv, Kurven gleicher Wahrscheinlichkeit sind also die Linien
Adu?-42B4dudvr-4C4v = Const.,
von denen sich leicht zeigen läßt, daß sie immer Ellipsen darstellen; diejenige
von ihnen, für die Const==} ist, heißt nach Helmert die „mittlere Fehler-
ellipse“. Nach den Methoden der analytischen Geometrie erhält man. für ihre
Halbachsen a und b nach einigen Umrechnungen unter Berücksichtigung von (4),
S. 12, g= My, b= M,, und für den Winkel £, den sie mit den Koordinatenachsen
bilden, tg 2 2= 2 mMy-/((Mi-— m). Um zu entscheiden, welcher der beiden Achsen
dieser mehrdenutige Winkel zukommt, setzt man am einfachsten versuchsweise
Aus Av und 4u===— Av, wodurch man zwei Durchmesser der Ellipse bekommt;
der längere von ihnen liegt der großen Achse am nächsten: bei positivem my, ist
es der erste, bei negativem der zweite. Die mittlere Fehlerellipse ist dem oben
gefundenen „schmalsten Rechteck“ eingeschrieben, Die Wahrscheinlichkeit dafür,
daB eine Beobachtung in sie hineinfällt, ist gleich dem Integral der angegebenen
Funktion #dudv über ihr Gebiet; die Integration läßt sich ausführen und gibt
i—e”" = 0.3985. Wil man eine Ellipse zeichnen, die die Hälfte aller Punkte
umfassen sollte, so muß die Konstante die Gleichung 1 —e-—*0a. — 0,5 befriedigen,
was Const, = 0.6932 gibt; die Achsen gehen somit aus denen der mittleren Fehler-
ellipse hervor durch vergrößern im Verhältnisse / 0.6932: V 0.5 == 1.1774: 1; diese
Ellipse hat Helmert die „wahrscheinliche Fehlerellipse“ genannt. Ihre Halb-
achsen sind im vorliegenden Beispiele 3.49 und 2,78 em/sec, und man kann sich
in der Abb. 1 (Tafel), wo sie punktiert ist, überzeugen, daß in sie 82 Beob-
‘4y Zweifach ausgedehnte Fehler behandeln manche Lehrbücher gar nicht. Ausführlich und. klar
ist. in dieser Hinsicht besonders E, Czuber: Theorie der Beobachtungsfehler, Leipzig 1891, S, 343
bis 399, wo auch die Theorie an den Einschüssen auf einer Schießscheibe (nach Bertrand) geprüft
and bestätigt wird, Kürzer sind die Ausführungen in Jordan: Handbuch der Vermessungskunde,
Einleitung in Bd, 1, Schwieriger ist der in Betracht kommende Teil in Helmert: Die Ausgleichungs-
rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, Leipzig und Berlin 1907. = Ganz kurz hebt die
wesentlichen Punkte herror F, Hack, Wahrscheinlichkeitszechnung, Leipzig 1911 (Sy, Qöschen Nr. 508).
