78 Auswerterahmen des Themenfeldes 1; BMVI Expertennetzwerk (201632019) Anlage 2: Vorgehen bei der multivariaten Bias-Adjustierung. Bei univariatem Quantil-Mapping wird der Bias über eine Transferfunktion korrigiert, welche die kumulati- ven Verteilungsformen der Modelldaten (m) und jene der Beobachtungen (o) im Referenzzeitraum (r) mit- einander in Beziehung setzt. Dies führt zu folgender Transferfunktion: )]}([{)(? ,,1,, tXFFtX pmrmropm ?? Mit einem modellierten Wert zum Zeitpunkt t und einem Projektionszeitraum p. Wird die Funktion auf modellierte Werte im Referenzzeitraum angewendet (m,p = m,r), haben die bias korrigierten Werte metho- disch Bedingt dieselbe Verteilung wie die Beobachtungen. Der von Bürger et al. (2011) publizierte Bias-Korrektur Algorithmus stellt eine multivariate Verallgemeine- rung der univariaten Skalierung von Mittelwert/Standardabweichung dar, welche die Standardabweichung durch eine Cholesky-Zerlegung der Kovarianz-Matrix ersetzt. Im univariaten Fall werden modellierte Werte xm,r im Referenzzeitraum zunächst als Anomalien zum Mittelwert rm x , ausgedrückt: rmrmrm xxx ,, ' , ?? Die Skalierung mit dem Verhältnis der beobachteten ro, ? zur modellierten Standardabweichungen rm, ? ergibt: rm rorm rm x x , , ' ,' , ? ? ?? Schließlich erhält man durch Addition des beobachteten Mittelwertes rox , : rormrm xxx , ' ,, ?? ?? Nach Anwendung der Korrektur stimmen modellierter Mittelwert und Standardabweichung in der Refe- renzperiode mit den beobachteten Werten überein. Die Projektionsdaten werden, unter Verwendung der- selben Faktoren, linear skaliert. Im Falle der multivariaten Skalierungsmethode wird gleichermaßen vorgegangen, allerdings mit der mul- tivariaten Generalisierung von Mittelwert und Standardabweichung. Sei eine Matrix von Beobachtungswerten Xo,r gegeben (mit den Variablen in den Spalten) und eine korres- pondierende Matrix modellierter Werte Xm,r, so werden zunächst die Anomalien ' ,roX und ' ,rmX relativ zum multivariaten Mittelwert bestimmt (Werte in Spalten werden durch Subtraktion der Mittelwerte zentriert). Unter der Annahme, dass die Kovarianz-Matrix der beobachteten Anomalien positiv definit ist, kann diese via Cholesky-Zerlegung in das Produkt aus unterer Dreiecksmatrix ro L , und ihrer Transponier- ten zerlegt werden: ? ? roT roro LLX ,,' ,cov ? Die Kovarianz-Matrix der Modellanomalien kann in gleicher Weise zerlegt werden: ? ? rmT rmrm LLX ,,' ,cov ?