Auflösungen für das Zweihöhenproblem., 
vom Meridian war, zur Zeitbestiumung mit der geschätzten Breite zu benutzen, 
und hatte dann mittelst der verflossenen Zeit auch schon den genäherten 
Stundenwinkel der andern Höhe, welche dem Meridiane nahe war, so dafs 
hiermit nun die Breite besser bestimmt werden konnte. Endlich liefs sich durch 
Wiederholung, bei vorkommender starker Abweichung von der geschätzten 
Breite, alles genauer ermitteln, Borda, welcher im Jahre 1771 (Voyage de 
la Flore, I pag. 341) diese zweite Näherungsmethode anwandte, machte die 
Sache damals nur etwas weitläufig, indem er die Rechnung gleich mit 2 an- 
genommenen Breiten durchführte und schliefslich durch Proportionirung die 
wahre Breite fand. Dazu kam noch, dafs die Korrektionen wegen der Orts- 
veränderung des Schiffes, mit den andern Korrektionen zur Verbesserung der 
Breite in Verbindung gebracht wurden (statt nach euglischer Weise die eine 
Höhe vorher auf den Ort der andern zu reduciren), und so erhielt diese zweite 
Näherungsmethode, mit Logarithmen von 7 Decimalen berechnet, ein weniger 
empfehlenswerthes Ansehen. Sie konnte auch unbrauchbar werden, oder 
wenigstens zu Täuschungen Anlafs geben, wenn beide Höhen, auf verschiedenen 
Seiten des Meridianus, einander beinahe gleich waren, wo offenbar die Breite 
Jurch Wiederholung der Rechnung mit den gefundenen Werthen abwechselnd 
zu grofs und zu klein ohne weitere Annäherung wieder herauskommen mulfste, 
während der wahre Werth, in der Mitte zwischen beiden gefundenen, nicht in der 
Rechnung selbst zum Vorschein kam. 
Gerade für diesen Fall sehr günstig ergab sich nun noch ein drittes 
Näherungsverfahren, eigentlich das einfachste von allen, wie wir es zuerst bei 
Lalande antreffen, und zwar im Jahre 1793 (Abrege de Navigation pag. 68). 
Man berechnet demzufolge mit jeder Höhe den zugehörigen Stundenwinkel nach 
zwei verschieden angenommenen genäherten Breiten und vergleicht den Unter- 
schied dieser Stundenwinkel mit der beobachteten verflossenen Zeit; denn wenn 
die Beobachtungen nicht ganz unzweckmäfsig gewählt sind, mufs diejenige Breite 
lie richtige sein, für welche hierbei völlige Uebereinstimmung stattfindet. Und 
daher läfst sich aus den noch übrigen Abweichungen zwischen Rechnung und 
Beobachtung, mittelst oines leichten Regeldetri-Satzes die erforderliche Ver- 
besserung der einen oder andern angeuommenen Breite finden. Ebenso ergiebt 
sich durch einen entsprechenden Proportionssatz die Verbesserung des Stundeuv- 
winkels, wenn die Breite gefunden ist. Die Voraussetzung ist also hierbei, 
dafs der Stundenwinkel sich auch hinreichend mit der Breite ändert und dafs 
diese Aenderungen gleichmäfsig sind. Abgesehen von besonderen Ausnahmefällen, 
wo keins von beiden stattündet, ist es nur merkwürdig, dafs im Allgemeinen 
diese einfachste Näherungsmethode nicht öfter angewendet worden ist, und man 
erst viel später von selbst wieder durch die Praxis darauf geführt wurde, bei 
der Berechnung von günstig dazu liegenden Beobachtungen. 
Die Vergleichung dieser drei ältesten Näherungsmethoden von Douwes, 
Borda und Lalande ergiebt, dafs die zweite und dritte einander ergänzen 
können, so dafs die eine einzutreten hätte, wenn die andere unbrauchbar wird, 
während die Methode von Douwes noch für beide Fälle ausreichen würde, 
was ein gewisser Vorzug ist. Andererseits ist die Methode von Douwes be- 
schränkt auf eine konstante Deklination und bedarf daher noch einer Korrektion 
wegen der Deklinations-Aenderung in der Zwischenzeit, während die beiden 
andern Methoden sogar auf zwei Gestirne von ganz verschiedener Deklination 
ohne weitere Mühe anwendbar sind, und das ist ein sehr wesentlicher Vortheil, 
der im Vergleich mit der längeren strengen Rechnung für diesen Fall besonders 
antschieden hervortritt. 
Eine vierte Näherungsmethode endlich ist die seit 1843 in New- York ver- 
öffentlichte Sum ner’sche. Sie hat im höheren Grade epochemachend gewirkt 
als die Douwes’sche Methode. Denn wie durch Douwes die neue approximative 
Rechnung für die Aufgabe und damit ihre allgemeine praktische Verwerthung 
in der Form eines kurzen, festen Rechnungsschemas eingeführt wurde, so brachte 
Sumner den Begriff eines neuen Elements hinzu: den immer bestimmbaren 
geometrischen Ort des Schiffes als Linie, worin sich das Schiff schon zu- 
folge einer beobachteten Höhe befinden mul, wenn auch die Breite nur ganz 
ungefähr bekannt, aber die Zeit des ersten Meridians nach dem Chronometer 
gegeben ist. Sumner berechnete nämlich zuerst schon im Jahre 1837 in einem 
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