Hansen, W.: Alternierende Gezeitenströme und Tiefen verteilung in einem Kanal, 67 
wenn noch m = a-|} ib gesetzt wird, wobei a und b Funktionen nur von y 
sind, ergeben sich für h folgende reelle Gleichungen: 
h.—h,, +ah, —bh, = 0, a. =0, 
2h,+bh, +ah =0, b,=0. 
Die Untersuchung der Gezeiten in einem geradlinigen Kanal mit verschwindender 
Querströmung erfordert also zunächst die Ermittlung einer geeigneten Tiefen- 
funktion h, die den Gleichungen (5) und (6) genügen muß, 
In den Gleichungen (6) werden die Ableitungen erster und zweiter Ordnung 
von h als Unbekannte, die Funktionen a und b einschließlich aller Ableitungen 
zunächst als vorgegeben betrachtet. Aus den Gleichungen (6) werden durch 
Differentiieren vier Gleichungen mit vier neuen Unbekannten erhalten; es sind 
also 4 +5 = 9 Unbekannte mit 6 Gleichungen vorhanden, Durch fortgesetzte 
Differentiationen werden nacheinander 5 neue Unbekannte und 6 Gleichungen, 
insgesamt also 14 Unbekannte und 12 Gleichungen, und endlich 6 neue Unbekannte 
mit 8 Gleichungen und damit insgesamt 20 Unbekannte und 20 Gleichungen 
erhalten. Die Determinante dieses Gleichungssystems ist eine Funktion von a und b 
und deren Ableitungen bis zur dritten Ordnung einschließlich, Da das Gleichungs- 
system homogen ist, muß die Determinante verschwinden, wenn nicht h konstant 
sein soll. Das bedeutet einmal, daß zwischen a und b und deren Ableitungen 
eine besondere Beziehung besteht, und somit beide Größen nicht beliebig vor- 
gegeben werden können, und zweitens kann aus dem Gleichungssystem eine Be- 
ziehung zwischen h, und h, hergeleitet werden, die von der Form ist h,=rh,, 
wo r nur eine Funktion von a, b und deren Ableitungen ist, was zur Folge 
hat, daß r,=0 gilt. Die allgemeinste Lösung, die dieser Gleichung genügt, 
kann in der Form h =h (e** v (y)) geschrieben werden. Gleichung (5) schränkt 
aber die Mannigfaltigkeit der Lösungen weiter ein; unter Benutzung obiger 
Beziehung für h folgt nämlich: 
61 
ch 1 
A =0, 
( h, ). ; h, 
Durch Ausführen der Differentiationen ergibt sich für h die Differentialgleichung 
Bhh hi (d—h,)—2hhi=0 
die folgende Lösungen besitzt: 
(7 h = v(y)e5 
Wird dieses Ergebnis in Gleichung (4) eingesetzt, so folgt 
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G Tivaisr® und nach 
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Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich aber weiter, daß + 1G” = GG ist oder 
8) 
GG” — AeTFiz 
Mit der Angabe der Gleichungen (7) und (8) ist im wesentlichen die Auf- 
zabe, Gezeitenverlauf und Tiefenverteilung bei verschwindenden Querströmen in 
einem geradlinigen Kanal zu bestimmen, erledigt. Es muß nur noch ein Wort 
über die Gesamtheit der in Frage kommenden Lösungen gesagt werden. Solange 
die Determinante des Systems von 20 linearen Gleichungen verschwindet, und jede 
Unterdeterminante ungleich Null ist, gibt es keine anderen als die oben ange- 
gebenen Lösungen, Zur Klärung der Sonderfälle soll noch einmal von einem anderen 
Gesichtspunkt her eine Entwicklung der Funktionen h vorgenommen werden. 
Da die Gleichungen (6) linear sind, ist mit h, und h, auch die Summe 
h, +h, eine Lösung. Es ist deshalb zweckmäßig h als Produkt zweier Funk- 
tionen u, v anzusetzen, mit der Bedingung, daß u nur von x und v nur von y 
abhängt. Dann kann die allgemeinste Lösung in der Form h = Xu, v, dar- 
gestellt werden, Zunächst wird u-v in (6) eingesetzt; es folgt: ” 
. if” x 
-V—uy + 2i0, vy., = (4. v +iuv,).