36 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, März 1942, 
Einschränkungen unterworfen, das gleiche gilt für die Größen Z, und %, sowie 
für die Geschwindigkeitskomponente in Richtung der x-Achse. Die einzige, aber 
entscheidende Voraussetzung besteht darin, die Querströme im ganzen Kanal 
gleich Null zu setzen, d.h. es ist für jeden Punkt aus G v,=v7%2=0. Aus den 
obigen Gleichungen folgt unter Benutzung dieser Beziehungen: 
g - —% 
Wh — ne (9 Sax + a S1y)> U FE (g ix —M Say) , 
—o03, + (hu,),=0, 65 + (hu); = 0, 
al = 0layı Aeax = —0lyer 
Aus diesen sechs Gleichungen können entweder u, und u, oder &, und £, elimi- 
niert werden; im ersten Fall ergibt das: . 
OS Ehe = 0, 035 + BC) = 0. 
Zusammen mit den obigen Gleichungen für £, und Z, ergeben sich vier 
Gleichungen für zwei unbekannte Funktionen. Es darf also h nicht beliebig 
gewählt werden, sondern es muß ganz bestimmten Bedingungen unterworfen sein. 
Zunächst werden die vier Gleichungen durch eine lineare Koordinatentrans- 
formation vereinfacht. Wenn nach der Transformation wieder x und y geschrieben 
a gh z x Hr 
und für ea wieder h gesetzt wird, gilt: 
Dh Six = y> 
/2) 3 hy = 0, 
hs Fa 
»2x 0 7 1yt 
Pt FR = 
=> "1 (Bea xx =0. 
Die ersten beiden Gleichungen sind unter dem Namen der Cauchy- 
Riemannschen Differentialgleichungen bekannt und haben eine besonders ein- 
gehende Untersuchung erfahren; die Lösungen dieser Gleichungen werden 
Potentialfunktionen genannt. Die Mannigfaltigkeit der Potentialfunktionen wird 
nun dadurch eingeschränkt, daß diese außerdem den Gleichungen (2) genügen 
müssen, 
Zur Vereinfachung der Schreibweise werden jetzt komplexe Größen .ein- 
geführt, und zwar wird gesetzt: 
F = 3 + 162. 
Wegen der Gleichungen (1) ist Fx +iF,=0 und wegen Gleichungen (2) ist 
F+(hF),= 0. 
Hier wird jetzt F= G, gesetzt und integriert: 
(3) G+h6G..-f, 
wobei f eine Funktion von y allein ist. 
Für G gilt Gy iG,=0, 
Aus Gleichung (3) folgt durch Differentiationen 
Gr _—_ if’ 
"0 h, ih, 
wenn mit G’ die Ableitungen nach z=x-+iy bezeichnef werden, Durch Ein- 
setzen dieses Wertes für G” in (3) und abermaliges Differentiieren, folgt 
h 1 
dacht h. ih =0 oder in reeller Form 
. ) h, 0 ( hh, ) 4 h, 0 
‚wel Tr umM =0, BT A =. 
x +39 xx he + h? h£+h) xx he+h) 
Durch weitere Ableitungen wird aus Gleichung (4) folgende Beziehung erhalten 
€ 
GO m ns 
hy —b., + 2ih,, 
Aus dieser und der Gleichung (4) kann G” entfernt werden, und es verbleibt 
eine Beziehung zwischen f und h: | 
A 2in. ai 
A