280 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, September 1941,
und außerdem für m = 2h,:
{IITa B) m PS Zi Di (Ib m q=0,
m—1
Darin ist 31 = ZA zu setzen, während r den Bereich von 0 bis g-—1 durchläuft,
0
Es entstehen also g derartiger Systeme, aus denen sich je m Koeffizienten
pP, und q,, im ganzen also g-.m=N Koeffizienten erzeugen. lassen, ‘
Die nächste Aufgabe besteht darin, die u; des ursprünglichen Gleichungs-
systems A) nach dem Zeiger g 4-4 r umzuordnen und die Größen des Systems B)
darin einzuführen.
8 2. Berechnung der p., 0x.
N—1
Die Umordnung ergibt sich durch Ersetzung von Xi mittels der Doppel-
g—1m—1 0
summe Sr Si, wobei künftig, soweit nichts anderes bemerkt, nur die einfachen
0 .
Zeichen Si, Zr und Zi geschrieben werden. Der Vorgang ist besonders einfach
bei (IA), Es ist in dieser Schreibweise:
Zi Zr
Nach (IA} und (IB) entstehen links bzw. rechts:
N. pa = Zrm- pP
oder vereinfacht:
(1aC) po = Ze pl
Nach (IbB) ergibt sich die Identität:
{Ib CO) g'qa=0.
Ersetzt man in (IIaA) i durch gi+r wund das einfache Summenzeichen
durch die Doppelsumme, so erhält man für k = x;
(22)*) N pp = Dr Ein, oB2au (gi+ N.
Wendet man auf den cos das Additionstheorem an und ersetzt den Quotienten
g/N durch m, so ergibt sich:
023) cos 2xx (g A + n/N = cos Zu ix/m + cos 1a ra /N-— sin 2x ix/m sin 2naru/N,
Multipliziert man dies mit Ug;4- und summiert über A, so entsteht aus (23)
{24} ZA rr cos 3mzx {gi + N = Zi, 4,‘ 008 2m Äx/m - con 2 nm ex{N
— EAU 4 Bin Zw iufmnr sin Zn r{N
Die Faktoren mit dem von 2 unabhängigen Argument 2xrx/N können vor das
Summenzeichen gesetzt werden; deshalb lassen sich die p"), qU aus (IIB} ein-
führen, was ergibt:
(25) Ziygaqrtos2uk (kn) /N = m/2 + p0) + cos 2arı/N —mf2 -q- sin 2ara/N.
Da die rechte Seite dieses Ausdrucks nun von A ganz unabhängig geworden ist,
kann jetzt die noch fehlende Summation über r nach (22) durchgeführt werden.
Durch Kürzung von m/2 gegen N/2 ergibt sich schließlich:
(a0) g.p. > Zrp9 cos 2arN— Zr qU sin 2arN.
Ersetzt man in (22) links p, durch q,, rechts den cos durch den sin, so ergibt
eine ganz entsprechende Rechnung:
{1b CO ga. = Zrp sin 2xrufN + Zr qq cos 2arxN
Der Geltungsbereich der x ist derselbe wie in (IIB). Es fehlt noch der
Fall x =h, = m/2, der durch die Gleichung III geregelt wird. In der Aus-
gangsbeziehung:
(aA) NZ: pp, = Zin, cos 2ami/2N
= Er Sing, 008 2amigit+ 2X
vereinfacht sich das Argument zu
(26) Samigi+ı1)/2N =xi+arfg.
*) Die Bezifferung der Gleichungen beginnt mit (22), weil ein nicht auf die Gruppenbildung
bezüglicher Teil der Arbeit unterdrückt wurde,
