Madrer, H5 Über Wiskeltreue in Kartenentwürten.
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durchaus nicht‘ die Priorität für die’allen Mathematikern geläufige Auffassung,
daß sich Parallelen‘ im Unendlichen schneiden, sondern ich habe (Annalen der
Aydrographie 1919 S. 217 bis 219) gezeigt, daß die Winkeltreue, die für die
ganze Merkatörkarte gilt, auch im. Unendlichen erhalten bleibt, obwohl der
flüchtige Augenschein ein anderes Urteil ergibt, dem sich. Wedemeyer S, 22
mit der Bemerkung „in der Seekarte herrscht im Pol keine Winkeltreue; nach
Maurer ist aber die Winkeltreue nur scheinbar gestört“ anschließt. Ich erinnere
demgegenüber an meine Darlegungen aus dem Jahre 1919: „In allen gebräuch-
lichen winkeltreuen Kartennetzen bilden sich die. Groß- und. Horizontalkreise
aines bestimmten Kugeldurchmessers als Lambertsches Kreisnetz ab, wobel
außer im stereographischen Entwuf in den Bildpunkten NS der Endpunkte jenes
Kugeldurchmessers dem Augenschein‘ nach die Winkeltreue nicht erfüllt ist, die
sonst für die ganze Abbildung gilt. (Ohne der Allgemeinheit Abbruch zu tun,
beschränken wir uns im Ausdruck auf die Entwürfe, wo die Punkte NS die
Pole und. ihre Großkreise die Meridiane sind.) Nun kennzeichnet sich die
scheinbare Abweichung von der Winkeltreue nicht so wie sonst in nicht winkel-
treuen Punkten anderer Karten, daß nämlich ein. rechtschnittiges Meridianpaar
auch in der Karte rechtschnittig bleibt und alle anderen nicht, sondern alle
Winkel zwischen je zwei Halbmeridianbildern sind gegen die Kugel im Verhältnis m
verändert, wo m für die ganze Karte eine zwischen 0 und co Hegende Konstante
ist. Die Karte konstruiert sich sonach nicht nach durch die Pole laufenden
Vollmeridianen, sondern nach von den Polen ausgehenden Halbmeridianen und
überdeckt in immer wiederholt sich anschließenden Teilkarten zwischen je zwei
um 860° Länge auseinander liegenden Halbmeridianbildern die Kartenebene
mehrfach, Nur für m= 1 (stereographischer Entwurf) bleibt Winkeltreue auch
für den rohen Augenschein erhalten und überdeckt ein einziges Kartenbild die
ganze Ebene. Aber auch bei mZ1 bleibt die Winkeltreue wie in der übrigen
Karte so auch bis im jede beliebige Annäherung an die singulären Punkte
ıhalten, Im singulären Punkt selbst erleidet (außer für m«e=1) jede durch-
laufende Kurve einen Knick, besitzt aber in ihm micht nur zwei Tangenten,
wie der rohe Augenschein vortäuscht, sondern eine stetige Folge von Tan-
genten. Untersucht man durch Grenzübergang von einem dicht am singulären
Punkt vorbeigehenden Großkreis zu dem durch ihn gehenden, welche Tangente
aus der stetigen Folge von Tangenten für den Schnitt mit einer anderen Kurve
im Einzelfall gilt, so zeigt sich tatsächlich auch im singulären Punkt selbst,
dem Augenschein entgegen, die Winkeltreue gewahrt.“ Diese genaue Nachprüfung
des Problems kann man nicht einfach mit der gegenteiligen Behauptung „im Pol
herrscht keine Winkeltreue“ abtun. .
8.22 wird mir vorgeworfen, daß ich in meinem System (in der Arbeit
„Ebene Kugelbilder“) Seekarten mit maßtreuem AÄquator und solche mit zwei
maßtreuen Breitenkreisen zwar gesondert aufgeführt, aber nicht zuch azimutale
Karten mit einem mäaßtreuen Breitenkreis unter besonderer Nummer erwähnt
hätte, Abgesehen davon, daß es doch jedem Verfasser freistehen muß, selbst zu
entscheiden, was ihm im einer Liste von möglichen Entwürfen erwähnenswert
erscheint, darf ich darauf hinweisen, daß die Entwürfe Nr. 29 und. 80 meiner
Systemtabelle Wedemeyers Wunsch nach gesonderter Erwähnung radlicher
Entwürfe mit einem maßtreuen Breitenkreis erfüllen,
Auch auf S. 29 tritt Wedemeyer für Fehlen der Winkeltreue nach dem
Augenschein ein, indem er darauf hinweist, daß die durch die Verzweigungs-
punkte (p= 0, Ä=-1 90°) der winkeltreuen Azimutgleichenkarte gehenden Ge-
raden Bilder von. 2 sich auf der Kugel. rechtwinklig‘ sehneidenden Kurvenästen
sind. Wie hier der Augenschein ftrügt, habe ich früher (Ann. d. Hydr. 1919
8. 213—217) ausführlich gezeigt, Eine der von Wedemeyer erwähnten Geraden
setzt sich zusammen aus dem in eine gerade Doppelstrecke zusammengeklappten
Äquatorbild, die in diesem Punkt endigt; und ihre Verlängerung ist ein in einen
Doppelstrahl zusammengeklappter Hyperbelast als Bild des Ortsmeridians, . Beide
Kurven (Äquator und Ortsmeridian) haben in dem Punkt, in dem sie zusammen.
stoßen, Tangenten. von allen möglichen Richtungen; und. ich habe durch. den
