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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, April 1936,
Kleinere Mitteilungen,
1. Die Charakteristik E (Exzeß) der statistischen Verteilungskurve,
Inhaltsübersicht: 1, Charakteristiken der Verteilungskurre: die Schiefe S, — 2, Formel
{für den. Exzeß E. — 3. Numerische Beispiele und Vergleichung der Formeln.
1. Zur Beschreibung einer statistischen Frequenzkurve genügen in weitaus
den. meisten der naturwissenschaftlichen und sozialen Erfahrung entlehnten Fällen
vier Charakteristiken: Mittelwert M, Streuung o, Schiefe S und Exzeß E. Die
Berechnung von M und # macht keine Mühe, Anders die strenge Ableitung
von 3 und E, Hier bedarf es in langwierigem Rechnungsgang der dritten
Potenzen bei S, der vierten bei E. Daher kommt es, daß in statistischen Unter-
suchungen, die nicht gerade um der Statistik willen. angestellt sind, S nur selten,
E kaum je mitgeteilt wird. Trotzdem es möglich ist, für beide Werte in gleich
einfacher Weise zu Ergebnissen zu gelangen, die in der Sicherheit ihrer Aussage
der inneren Sicherheit der empirischen Grundlage entsprechen, Das Verfahren
mag kurz angegeben oder besser, abgelesen werden; denn man liest es unmittelbar
aus der Betrachtung der Frequenzkurve ab. '
Das Täfelchen schneidet den in Betracht kommenden Teil der Frequenzkurve
aus, Die eingetragenen Bezeichnungen. lassen keinen Zweifel nach. Es geht hervor:
N Vs AU
Frequenztafel (Ausschnitt), Dichtester Wert D=X— TE X Klassen-
"AA Dal
| Häufigkeit breite, und damit die Definition.:
——— „a D—M
1, Differenz IL, Differenz Ächiefe Sa eo"
U_yz Diese Festsetzung des Vorzeichens
Ä4U_ / von S ist einprägsamer als die meist
Un AU gebräuchliche entgegengesetzte; hier er-
AU scheint jetzt nach Betrag und Sinn der
| U, ; Abstand S-o, um den der beobachtete
. ; . ı . dichteste Wert D gegen das arithmetische
x A k a N “ DV
De en En ok (Gesamtzahl) Mittel M verschoben erscheint. Den un-
X Argumentwert der unteren Grenze der häufigsten Yerrückten Ausgangspunkt bildet dabei
Klasse die theoretische normale Häufigkeits-
M arithmetisches Mittel kurvre, Dasselbe Vorzeichen für S hat
& Streuung übrigens auch Charlier!).
2. Nun berechnet man die Maximalordinate Um der beobachteten Kurve durch :
n . 1 (AU_ + AU)®
Una = Do — 5 —L—,
S 8 A? U_;
sine Formel, die die Häufigkeitskurve im Bereich der drei am stärksten besetzten
Klassen durch eine Parabel zweiter Ordnung approximiert, Als Maximal-
ördinate Z, der idealen Frequenzkurre hat man:
‚N
Zu = 0.8989 2,
(Zo braucht man sowieso bei der Vergleichung von Theorie und Beobachtung)
und endlich folgt der Exzeß: oz
Ex 9,
Z9
Diese Definition von E geht dahin, daß die Erhöhung (Umax — Zo) der be-
obachteten Kurve über die Normalkurve gleich ist der mit E multiplizierten
Höhe der Normalkurve (Ze). Sund E entsprechen in ihrer Bedeutung genau
den Werten, die aus den dritten und vierten Potenzen hervorgehen, Es seien
noch die mittleren Fehler £ für S und E hinzugefügt:
1,2047 O.6124
S) = + ——— = ZZ
eS) + YyS 2 + = N
Formeln, die hier eher ein Mindestmaß der Unsicherheit bedeuten,
56V. LI Charlier, Grundzüge d, math, Statistik, Lund 1920, p. 70,
