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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Oktober 1934.
Eine derartige Unterscheidung der Mittelwerte läßt sich nun nicht anstellen,
wenn n sehr klein ist, was in der Meteorologie speziell Klimatologie auch oft
der Fall ist. Ein einfacher Vergleich der Mittelwerte führt sehr leicht zu Fehl-
schlüssen, da bei einem derartig kleinen Material jeder Mittelwert für sich sehr
weit von dem wahrscheinlichen Wert entfernt liegen kann. Dies ist auch der
Fall, wenn die Variablen selbst einer Gaußverteilung folgen.
Im folgenden soll nun eine Methode angegeben werden, die es gestattet,
doch einen Vergleich anzustellen, und zwar mit einem denkbar kleinsten Auf-
wand von Arbeit.
Wir müssen das Verteilungsgesetz für die normierte Abweichung des arithme-
+ — zU
tischen Mittels vom wahrscheinlichen Wert kennen lernen, für t= 5 =, wobei Sz
x
gleich dem empirischen mittleren Fehler von % ist. (Der nun folgende Beweis
stammt von Student!). Er wurde in der Vorlesung für mathematische Statistik
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an der Universität Göttingen gebracht.) Es sei weiter 8? == BE das empirische
mittlere Fehlerquadrat, o* das apriorische. 0%. anolog dem si der apriorische
Wert des mittleren Fehlerquadrates von x. Die n Beobachtungen x; (i=1,2,...n)
seien unabhängig voneinander,
Die Wahrscheinlichkeit von x: in ein Intervall (x;, x; -+ dxj) zu fallen ist:
(X; — X
A“ 20? dx.
oY2n
Für das Häufigkeitselement des ganzen Systems gilt dann
i 3 (x — x
Ann 20* dx, dxz...dx,.
Wir benutzen wieder die schon oben verwandte Identität
S(x— x) u S(x— 5 ADS — x) = (n— 1)8 + nn (x — x).
Damit nehmen wir in dem Exponentialausdruck folgende Zerlegung vor:
_ Sei— = LO) a6,
8 20? = 20? sp Ze?
Nun bleibt noch die Aufgabe dx,, dx, ... dx, durch dx und d (s?) auszudrücken.
Dazu ist eine geometrische Zwischenbetrachtung notwendig, auf die wir hier
verzichten wollen. Wir bekommen dann
dx, dx,...dxz, Rs” 7 dedem(e) 3—> > > ded(s?) 2 proportional.
Mit diesem Ergebnis erhalten wir nun die Zerlegung:
„St DR n—_3 — Bay
Carte 20% dx, dx,...dx, = ]c,-e 20% qz 0 (8°) ——e 20° q(8)].
Integrieren wir jeden dieser Faktoren über das ganze Intervall und setzen die
Integrale = 1, so erhalten wir für die Konstanten c, und c, folgende Werte:
— n— 1
1ı/n 1 n—1\ 2
a=z)3 und am — (- ) ;
A
2
Setzen wir n (x — x%? = s*t% also dz= dt und integrieren wir über alle
Werte von s, so folgt endlich das Fehlergesetz t:
Tr (3) n
2 1 A
di = — Anm I S— 2 dt
r(*=) Yz (an — 1) +)
1) Siehe R. A, Fisher: Statistical Methods for Research Workers (Oliver and Boyd, London 1928)
und R. A. Fisher: Applications of Student’s distribution (Metron, Bd. 5. Nr. 3, 1925).
