40 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August/September 1933, 
Rohrwand mit y und der mittlere Korndurchmesser mit k bezeichnet; das Rohr 
ist also um so rauher, je kleiner der Bruch r/k ist, Man sieht, daß die Art der 
Zunahme von I] nach der Rohrmitte zu von der Rauhigkeit nicht abhängt, und 
daß der Mischungsweg in Wandnähe ungefähr zum Abstande von der Wand 
proportional ist: 
l= xy, 
wo die Konstante x empirisch zu 0.4 bestimmt wurde. Mit Einführung von I 
erhält Prandtl für die Schubspannung © je qem zwischen zwei benachbarten 
Schichten („Scheinreibung“) den Ausdruck: 
= +4 (18). 
dy/ ? 
wo u die Durchschnittsgeschwindigkeit am Orte y bedeutet, Unter der An- 
nahme, daß die Schubspannung konstant und, entsprechend der obigen Gleichung, 
der Mischungsweg proportional zum Abstande von der Rohrwand ist, leitet man 
aus diesen beiden Gleichungen leicht das Gesetz ab: 
; ® yY F r 
u=25]/ Ein k=575 5 wg, 
wo In den natürlichen, {og den Briggischen Logarithmus und C eine noch zu 
bestimmende Integrationskonstante bedeutet, An der Wandung selbst, wo y=0 
ist, verliert die Formel ihren Sinn, doch kann man dem vorbeugen, wenn man 
die Abstände y von einem Punkte jenseits der Wandung aus zählt, ja es genügt 
hierzu schon eine Stelle zwischen den Sandkörnern, Ein ähnliches Gesetz fand 
schon v., Kärmän, aber auf Grund anderer Voraussetzungen, 
Zur weiteren Vereinfachung setzt Prandil Y7/g = v, und nennt v, die „Schub- 
spannungsgeschwindigkeit“; sie läßt sich auch beschreiben als der Ge- 
schwindigkeitsunterschied an den beiden Endpunkten des Mischungwegs. Würden 
die beiden oben gemachten Annahmen bis zur Rohrmitte (y == r) gelten, so hätte 
man für die hier anzutreffende Maximalgeschwindigkeit um den Ausdruck 
Ds = 5757, log X, 
und daher 
Upgay = 5.75 v4 ZOg — 
Aus Nr. 2, Taf. 31 ist zu ersehen, daß dieses Gesetz (= die ausgezogene 
Kurve) tatsächlich die Versuchsergebnisse sehr gut darstellt, Nicht nur ändert 
der Grad der Rauhigkeit nichts an dem Wesen der Geschwindigkeitsverteilung, 
sondern, was sehr merkwürdig erscheint, gilt das logarithmische Gesetz auch 
noch in Bereichen, wo die beiden gemachten Annahmen nicht mehr zutreffen: 
Integriert man die einfache Formel, um die mittlere Geschwindigkeit u zu er- 
halten, so ergibt sich Umax — ü= 3.75 v,, während in der Tat Göttinger Ver- 
suche auf 4.07 v, führten, Die Übereinstimmung beweist, daß die Veränderlich- 
keit von z durch die von ] in gewissem Grade wieder ausgeglichen wird. Die 
Verteilung der Geschwindigkeit im Rohre wurde zuerst von Blasius durch die 
siebente Wurzel ausgedrückt; doch mußte man bei größeren Reynoldsschen 
Zahlen zur achten, neunten und zehnten Wurzel übergehen, um die Versuche 
durch eine Formel auszudrücken, während das logarithmische Gesetz (das zuerst 
v. Kärmän aufstellte) alle diese Fälle umgreift und damit die Vereinheitlichung 
als grundlegend für eine Vereinfachung erkennen läßt. 
Natürlich hängt der Wert der Höchstgeschwindigkeit um von der Rauhig:- 
keit des Rohres ab; nimmt man an, daß bei steigender Größe der Sandkörner, 
k, nur der Maßstab der Bewegung zunimmt, so kann die Geschwindigkeit u im 
Abstande y von der Wand nur von dem Verhältnisse y/k abhängen, Göttinger 
Versuche haben ergeben, daß in diesem Falle die Konstante C = k/30 wird. 
Damit hat man 
ü= 25. v, din (57) = 575.7, log[ 3?)