Becker, R.: Atmosphärische Luftverlagerungen bei innerer Reibung usw. 91
die Gleichgewichtsgeschwindigkeiten vorhanden, über die sich die Vorstoßgeschwindigkeit
überlagert. Es muß also für alle h;
u 9 = +U,
Yı>0="%a +7V sein.
Die Abbremsung der Luftmassen pflanzt sich vom Boden aus mehr und mehr
nach oben fort, bis schließlich der gesamte neu hinzugekommene Geschwindigkeitsanteil
abgebremst ist. Es muß deshalb für alle h:
Orc Ya
Ye_aco TG sein,
Um nun eine Lösung der Differentialgleichungen (1) angeben zu können,
welche diesen Randbedingungen genügt, bedarf es einiger Umformungen.
Zunächst lassen sich die beiden partiellen Differentialgleichungen zweiter
Ordnung leicht auf eine homogene Form bringen. Dies wird dadurch erreicht,
daß man nicht mit den Geschwindigkeiten selbst rechnet, sondern mit den Abweichungen
derselben von der Gleichgewichtslage. Man zerlegt die Geschwindigkeitskomponenten
u und v in je zwei Anteile. Die Anteile ug und vg bezeichnen
die Bewegungskomponenten im Falle des Gleichgewichtes bei innerer Reibung;
Au und 4v sind die Abweichungen der wirklich vorhandenen Geschwindigkeiten
von diesen Gleichgewichtswerten. Es ist also:
u=ug+4u |
Y=Yg-+dr 4
Diese beiden Substitutionen werden nun in die Gleichungen
Man erhält so:
dAau # Au u ug l dp\_
7 Harn sa +H( a)
dar = # ar _ 8 ra 1 dp
A
Die Ableitungen von ug und va nach der Zeit müssen, da das Druckfeld
zeitlich konstant ist, verschwinden, Die Ausdrücke in den Klammern sind identisch
mit den linken Seiten der Gleichungen (2) und müssen deshalb auch gleich 0
sein. Man erhält also aus (5):
dau x au
dAvr u Ay _
ST
Diese Gleichungen sind nun gegenüber (1) schon stark vereinfacht. Um die
Vereinfachung noch weiter zu treiben, ist es zweckmäßig, die Differentialgleichungen
auf ein Koordinatensystem zu transformieren, das mit der Winkelgeschwindigkeit
] = 2w sin g um seine h-Achse rotiert. Versieht man alle Größen
dieses neuen Koordinatensystems mit einem ’, so hat man demnach folgende
Transformation mit (6) auszuführen:
4u = 4w coslt— 4Av'sinlt ED
Av == Au’sin 1t 4- 4v cos 1t }
Um die Transformation durchführen zu können, muß man noch von den
beiden Gleichungen (7) Ableitungen bilden. Es sind erforderlich der erste
partielle Differentialquotient nach der Zeit und der zweite partielle Differentialquotient
nach der Höhe. Die Differentialquotienten lauten:
N = DEN gog1t — DE sin 1t — 1(4u’ sin 1t + 4v‘ cos 1t)
Dar 29% sin 1t 4-25 cos 14 +1(4w cos 1t — Av sin 10)
Au 4 lt Av inlt
öht 5 abs ©
Ar YA. Ö2Ar
Sp hr 810 CE cos 1t
(4:
