Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Juni 1923. 
zu beschränken. Man erhält dann, wenn man sich x, y und i in Bogenmaß aus- 
gedrückt denkt, bis auf Glieder vierter Ordnung: 
cos? 8’ == cos? x cos? i cos? 8 -+2 x icos ß ; 
= c08? 8 — x? cos? 8 — P cos? 8 +2 xicos ß 
av — 0082 ( "  g)\— eo? (I — A\— eos of — 
cos? y cos? (5 8) y2 cost (5 g) 1006? (5 8) +2 y 1005 (5 8) 
—- / — 9 yicos _ NW 8) —2xicos-L 5 _ 
2 cos ß’ cos w’ cos y = 2 yicos = cos ß 2x y cos #005 (5 8) 2% 1008 5 08 (5 6) 
_ gl 2 Fagef{ X. 
2 c08 ß cos-5 cos (3 )+2» cos ß cos 9008 (5 g) 
+2 2 c08 ß cos -5-co8 (7 —g)+2 cos f COS -5-C08 5- #) ; 
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= 008? f 4 cos? (5 — 8) — 2 cos ß cos -5-c05 (5 — ß) 
+2 | — cos? g +2 cos cos -X-cos (-3-— )| 
+ [- cos? (5- — 8) +2 cos cos-g- 008 (3-—)| 
— 2 [ cos? ß + cos (Sg) — 20os 8 cos 3 cos (-3- — 8) 
—2 u y cos ß 005 (5 — £) 
42x i| cos ß — cos cos (3-—g)l 
+2. yi[cos (3-— 8) — cos 5 cos B' 
Diese Gleichung muß auch richtig bleiben, wenn man x =y = i= 0 setzt. 
Dann geht x in w über, und man erhält: 
sin? > = 608? 8 + cos? > — g) — 2 cos 8 cos-5- cos A — 6) 5 
eine Gleichung, die man auch direkt ableiten kann, indem man cos 3 — ß) ent- 
wickelt. Nach einfachen Umformungen der in den eckigen Klammern stehenden 
Ausdrücke findet man schließlich: 
(1) sin? r — sin? Z oder SE oder sin Bi sin a 1 
= %? cos ß cos (w — 8) +y? cos (3-—2) cos (3- +8) — sin? 5 
—2 #y cos cos (Z- — g) +2 xisin -5- sin (5- —#) +27 isn -5-eing, 
bis auf Glieder vierter Ordnung. 
Encke ist der erste gewesen, der eine solche Gleichung, die x in funktionaler 
Abhängigkeit von w, x, 7, 1, 6 — und zwar in geschlossener Form — erscheinen läßt, 
gegeben hat. Andere allgemeine Ableitungen haben Schell und Grunert ge- 
liefert. Eine der Enckeschen ähnliche Herleitung findet man im Lehrbuch von 
Herr und Tinter und im Wörterbuch von Valentiner. Sawitsch und nach 
ihm Eylert, der aus ersterem geschöpft hat, machen in ihren Beweisen eine An- 
nahme über zwei kleine Bogen, deren Zulässigkeit. sie nicht nachweisen; ihr 
Beweis ist also nicht befriedigend, Ich habe hier noch eine andere Ableitung 
der allgemeinen Formel gegeben, die mir durchsichtiger und einfacher als die 
anderen erscheint, . 
Die übrigen Schriftsteller begnügen sich mit der Erledigung einiger Spezial- 
fälle, wie x=y= 0; x=i=0; y=i=0; y=xundi=0; x= y=i. Und die 
vorhin erwähnten Autoren haben es merkwürdigerweise auch für ausreichend ge- 
halten, die allgemeine Gleichung auf einige Spezialfälle anzuwenden. Eine solche 
Darstellung ist aber nicht beweiskräftig. Denn der Gesamtfehler setzt sich nicht 
aus den Einzelfehlern zusammen, wie ein Blick auf Gleichung (1) zeigt. Ich halte 
es. nicht für überflüssig, an einem einfachen Beispiel zu erläutern, daß man von 
den Einzelfehlern nicht auf den Gesamtfehler sehließen darf. Die Schenkel eines 
und daher: 
sin? 3 
o