8 =D:
Ar
— 99
2600
Maurer, H.: Loxodromische Entfernungen.
A —80 | = |
3815 | 3903 | 4099
‚—45 | —30,
4351 4676
— 15 | 0
5051 5453
41
p=D: +15 Ce | 1. | +80 +88 4189 +90
8: 5867 | 6281 683 | 7058 7458 7501 7448 7200
Wenn B auf dem. andern Halbmeridian 4 ==180 läuft, entstehen spiegel-
bildlich dieselben Werte von e. Man erkennt die beiden Minima an den Polen
und auf jedem Halbmeridian. ein Maximum zwischen = +80° und + 89°.
Der Kurvenverlauf ist in der Figur durch Kurve II wiedergegeben.
Alle Loxodromen haben bis zu den Polen selbst endliche Länge,
Nun möchte ich auf den Punkt eingehen, der wohl am wesentlichsten die
Unstimmigkeiten im Aufsatz von Herrn Immler hervorgerufen hat. Er geht
von der in der Anmerkung im Eingang des Aufsatzes ausgesprochenen Voraus-
setzung aus, daß mit Bezug auf die loxodromische Entfernung der Pol
ein singulärer Punkt im Endlichen sei, der auf der Loxodrome von
jedem andern Punkt unendliche Entfernung habe. Nur auf den mit
den Meridianen zusammenfallenden Loxodromen sei diese Entfernung endlich,
Dies ist irrig. N .
Die Bogenlänge b der Loxodrome vom Kurswinkel k zwischen den Breiten
g@, und @, berechnet. sich nach der Formel:
b = (pa—pı) seck.
Man ersieht sofort, daß auch wenn wir %, = 90° = 5400* setzen, also
die Bogenlänge bis zum Pol in Bogenminuten (Seemeilen) rechnen, b immer
endlich bleibt, außer wenn k == 90° ist, man also ewig genau auf dem Breiten-
kreis die Erde umläuft. In allen anderen Fällen ist die loxodro-
mische Bogenlänge bis zum Pol endlich, obwohl die Kurve den Pol un-
endlich oft umkreist, Der Ausdruck »die Loxodrome erreicht den Pol nie« be-
deutet nur, daß der Pol nicht nach einer endlichen Zahl von Erdumkreisungen
erreicht wird. »Erreicht« wird der Pol von der Loxodrome, insofern zu ihr ja
unendlich viele Umläufe gehören, während deren die Entfernung vom Pol unter
jeden noch so kleinen angebbaren Wert sinkt. Nur überschreitet die Kurve
den Pol nicht; und ihre Bahnlänge bis zum Pol hat einen völlig
genau angebbaren endlichen Wert. Auch wenn wir den Punkt B auf einem
Meridian bis in den Pol P laufen lassen, durchläuft die loxodromische Ent-
fernung eines Grundpunkts A von B stets eine lückenlose Folge von Werten,
die immer mit demselben Wert der auf dem Meridian von A gemessenen Pol-
distanz endigt, gleichgültig, auf welchem Meridian B in den Pol P gelaufen ist.
Darin, daß trotz der unendlich vielen Erdumkreisungen die gesamte Bogen-
länge der Loxodrome bis zum Pol endlich ist, liegt durchaus nichts Mystisches.
Stellen wir uns z. B. vor, daß, da wir ja mit jedem Umlauf dem Pol näher kommen,
die Bogenlänge jedes folgenden Umlaufs halb so groß wie die des vorhergehenden
sei, so würden wir eine Reihe von der Form: 1+4}3+41++}-+..... erhalten,
die zwar aus unendlich vielen Summanden besteht, deren Summe aber .doch nur
= 2 ist. Tatsächlich konvergiert die entsprechende Reihe für die Loxodromen-
bogenlängen sehr energisch. Die Formel b = (#, — 1) - sec k, wo k eine Konstante
ist, besagt ja, daß die Bogenlänge jeweils genau die gleiche ist zwischen 2 Kurven-
punkten von gleicher Breitendifferenz. Also ist z. B. die Gesamtbogenlänge der
unendlich vielen Umläufe von 89° bis zum Pol zusammengenommen nicht länger
als der Loxodromenbogen vom Äquator bis 1° Nord; und die ganze Loxodrome
vom Südpol bis zum Nordpol ist, obwohl sie jeden Pol unendlich oft umläuft,
hur 10mal so lang wie der Kurvenbogen vom Äquator bis 18° Nord. Auch die
ganze Loxodrome vom Kurswinkel 89° 59’ 59” hat von Pol zu Pol endliche
Länge; sie ist rund 100000mal so lang ‘wie der Äquator. Auch nach der
Zeit würde ein Punkt, der sich auf einer nicht in einen Breitenkreis fallenden
Loxodrome mit gleichmäßiger Bahngeschwindigkeit z. B. 1 Met./Sekunde bewegt,
nach. einer bestimmten endlichen Zahl von Sekunden im Pol selbst an-
kommen, obwohl er ihn vorher unendlich oft umkreisen muß; allerdings
