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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Januar/Februar 1919,

wodurch sich alle winkeltreuen Karten aus der stereographischen herleiten
Jassen. Soll außerdem jeder Kreis durch die Umformung wieder in einen Kreis
übergehen, so darf die Beziehung nur linear sein, da sonst Kurven höherer
Ordnung auftreten:

— AZt%
7 za?
wo die a,, 22, as, a4 Konstante sind. In der Funktionentheorie wird bewiesen,
laß diese Transformation, welche sich zugleich als eine Kollineation des Raumes
darstellt, die Gruppen umfaßt: 1. Der Verschiebung, 2. der Drehung, 3. der
Ähnlichkeit und 4. der Umformung durch reziproke Radien. Nur die letztere
könnte man allenfalls, wenn sie auch auf eine Spiegelung an der Äquatorebene
hinauskommt, als Erzeuger einer neuen Projektionsart ansehen, und es ergibt sich:
Jede winkeltreue Projektion, die alle Kugelkreise wieder als
Kreise abbildet (und umgekehrt), läßt sich aus der stereographischen
vermittels reziproker Radien ableiten.

Loxodromische Entfernungen.
Von Dr. H. Maurer, Berlin.

In seinem Aufsatz: »Die Linien gleicher loxodromischer Distanz« (Ann,
A. Hydr. usw. 1918 S. 355) bezweifelt Herr Immler auf S. 362 die Richtigkeit
meiner Angaben (im Aufsatz: Loxodromische Dreiecke, Ann. d. Hydr. 1918 58.
239 ff.), daß die loxodromische Entfernung eines Grundpunkts von den Punkten
eines bestimmten Vollmeridians in ihrem Verlaufe mehrere Minima aufweisen
kann. Ich hatte auf Fälle verwiesen, wo wenigstens 4 Minima und 4 Maxima
auftreten,
Herr Immler schließt aus seinen Untersuchungen: »Auf jedem Meridian
gibt es keinen oder nur einen Punkt, der von einem Grundpunkt kleinste loxodromische
 Entfernung hat. Dieser Punkt liegt dem benachbarten Pol näher als
der Grundpunkt. Ist die Distanz größer als die Distanz des Grundpunkts vom
benachbarten Pol, so kann dazu in der Nähe dieses Pols ein Maximum der loxodromischen
 Distanz auftreten. Minimum und Maximum treten dann paarweise
auf, oder es gibt keines von beiden auf der gleichen Seite vom Aquator.
Ist die Distanz größer als die Distanz des Grundpunkts vom entfernten
Pol, so treten auf jedem Meridian unendlich viele Maxima der loxodromischen
Distanz auf.«
Im ersten Satz ist »keinen Punkt« nicht verständlich. Es muß doch
immer wenigstens ein Punkt eines Meridians dem Grundpunkt loxodromisch am
nächsten liegen. Ferner wird man annehmen, daß »die Distanz«, von der hier
die Rede ist, die kleinste loxodromische Entfernung zwischen Grundpunkt und
Meridian sein soll (analog zu dem auf einem Großkreisbogen gemessenen Abstand
 eines Punktes von einem Meridian); dann ist aber nicht verständlich, daß
sie größer als die Entfernung von einem oder von beiden Polen sein kann; denn
jeder Pol ist ja auch ein Punkt des Meridians. Auch wenn »die Distanz« die
gleichbleibende Distanz irgendeiner bestimmten Linie gleicher loxodromischer
(oder auch orthodromischer) Distanz vom Grundpunkt bedeuten sollte, werden
die Sätze nicht klarer; die Anzahl der Maxima und Minima der loxodromischen
Entfernung zwischen einem Grundpunkt und den Punkten eines Vollmeridians
ändert sich ja nicht dadurch, ob man diese oder jene Kurve gleicher Distanz
untersucht. Daß Minima und Maxima bei der geschlossenen Linie eines Vollmeridians
 immer nur in gleicher Anzahl auftreten können, ist selbverständlich.
Die Angaben von Herrn Immler, daß in besonderen Fällen im Verlauf der
loxodromischen Entfernung zwischen Grundpunkt und den Punkten eines Vollmeridians
 ein oder kein Minimum und zugleich unendlich viele Maxima auftreten
können, ist unverständlich.