Thorade, H.: Zur Umwandlung von Kartenprojektionen. 
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gibt — nur eine einzige Lösung, nämlich die dort angegebene, besitzt. Denn 
jeder Punkt auf der Kugel ist durch den Schnitt zweier Großkreise der beiden 
Büschel eindeutig bestimmt, und da die Winkel beibehalten werden, so liegt. da- 
mit jeder Punkt der Karte als Schnittpunkt der entsprechenden Strahlen fest, 
so daß man, lediglich nach diesem Prinzip, die Karte vollständig zeichnen kann. 
Anderseits betrachten wir die Gesamtheit aller derjenigen Entwurfsarten, 
die sämtliche Großkreise, und -nur diese, als Gerade abbilden; einer Geraden 
irgend eines solchen Entwurfs entspricht dann jedesmal ein Großkreis; dieser 
aber geht in der. gnomonischen Karte wieder in eine Gerade über. Folglich 
entspricht jeder Geraden des allgemeinen Entwurfs eine Gerade des gnomonischen 
und umgekehrt. Beide Karten stehen daher in kollinearer Verwandtschaft, und 
es muß möglich sein, sie durch eine lineare Transformation aus einander abzu- 
leiten. .Bezeichnen daher x,y,z die homogenen Koordinaten eines Punktes in 
der gnomonischen, 5, n, 5 diejenigen des entsprechenden Punktes in der anderen 
Projektion, so läßt sich sagen: . 
Jede Projektion, welche alle Großkreise als Gerade (und um- 
gekehrt) abbildet, läßt sich aus der gnomonischen ableiten durch die 
Umformung: 
5 = du + Y-+ 2132 
7 = day X-{- 893 Y- 8132 
5 ==" 83, X + 2839 Y-- 9932, 
wo die a1, 2j2... gs Konstanten sind. Die Immlersche Abbildung im besonderen 
ist eine affine Umformung der gnomonischen!), Da sie die einzige Lösung der 
gestellten Aufgabe ist, so ergibt sich die Tatsache: Verlangt man von einer 
Projektion, daß sie in zwei Punkten azimutal ist, so bildet sie alle Großkreise 
als Gerade ab. 
2. Umwandlungen der Merkatorprojektion. Jede Gerade in der Merkator- 
projektion bildet eine Loxodrome ab. Fragen wir umgekehrt nach allen Projektionen, 
welche die Loxodrome als Gerade darstellen, so muß jede solche Projektion 
wieder in kollinearer Beziehung zur Merkatorkarte stehen, d. h.: 
Alle Projektionen, welche die Loxodrome als Gerade abbilden, 
sind lineare Transformationen der Merkatorprojektion. 
Aber diese Projektionen werden im allgemeinen nicht mehr winkeltreu 
sein. Das sind sie nur, wenn sie gleichzeitig winkeltreue Bilder des Merkator- 
entwurfs sind, Nun zeigt jedoch die projektive Geometrie, daß lineare Trans- 
formationen, wenn sie zugleich winkeltreu sind, sich beschränken müssen auf 
Verschiebung, Drehung und Maßstabsänderung; diese erzeugen keine neue 
Projektionsart, und somit ergibt sich, daß die Merkatorprojektion die 
einzige winkeltreue Projektion ist, welche die Loxodrome als Gerade 
abbildet. - 
Diesen Satz finden wir, wenn auch ohne Beweis, von Wedemeyer (diese 
Zeitschrift 1917, S. 508) ausgesprochen. Die Bedeutung der kollinearen Umformung 
deutet Maurer (Pet, Mitt. 1914, S. 116) an. X. 
3. Umwandlungen der stereographischen Projektion, Jede winkeltreue Projektion 
die mit der stereographischen auch noch die Eigenschaft gemeinsam haben soll 
daß jeder Kugelkreis als Kreis abgebildet werden soll (und umgekehrt), steht 
damit zu der stereographischen in der Verwandtschaft, daß jedem Kreise der 
ersteren ein Kreis in der stereographischen entspricht. Wir bezeichnen die 
rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der stereographischen Karte mit x,y, 
diejenigen des entsprechenden im anderen Entwurf mit 5, und setzen 
70 2 = x-Hiy, ; 
= $-—+in, 
so wird der Bedingung der. Winkeltreue genügt, wenn X eine beliebige analytische 
Funktion von .z ist: . . 
E& = f(z) , 
1) Bereits Littlehales (The Derelopment of great circle sailing, 1899, S. 16) erwähnt eine 
ähnliche von Herrle herrührende Transformation, die dieser jedoch nur vornahm, um Platz zu sparen 
ohne daß er ihre Eigenschaften. kannte.