Immler, W.: Ein doppelazimutaler gnomonischer Kartenentwurf usw,

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XIII. Abbildung des Meridians. ,
Um die Abbildung eines Meridians zu erhalten, muß man aus den beiden
Gleichungen (2) die Breite g eliminieren. Man schreibt die Gleichungen deshalb
A; sec g, sin (4 + Ag) + tg g, cos (4 + 40) = tg
A, sec , sin (2 — Ao) + tg po cos (4 — A) = 1g 9.
. Setzt man die beiden Ausdrücke für tg @ einander gleich und wendet die
Gleichung (7) an, so wird
(C, Bı +1) (C, — Ba) sec g, sin (4 + 49) — (Cz Ba + 1) (C, — Bj) sec 9, sin (4 — Ay)
—+(C, — By) (C — Bo) (tg p, cos (4 + Ay) — tg 2 cos (2 — A0)} = 0.
Hierin ist der Koeffizient von C,C,
B, sec g, sin (4 + Av) — B, sec g@, sin (4 — Ag) -+ tg g, cos (4 + A) — tg pz COS (4 — Ay)
oder unter Einsetzen der Werte aus (1) und Umordnen
tg (— cotg 2 A sin (A+ Ao) + cosec 2 49 sin (4 — 29) + cos (4 + Ao)) .
+ tg 2 (— cotg 2 Ag sin (4 — Ay) + coseo 2 Ag sin (4 + Ao) — cos (4 — 2 0 ©
In diesem Ausdruck verschwinden die Klammerwerte und damit in der
Gleichung des Meridians das Glied mit C,C,. Sie nimmt daher die Form an
Cs-+LC,t-Lw= 0. . (10)

wobei
Ss = — B, B, sec g, sin (4 + 20) — sec g, sin (4 — 25) — Ba tg gp, cos (2 + A) + Ba tg Po COS (1 — Ay).
t= B, B, sec g, sin (4 — Ao) + sec g, sin (2 +20) — HK, tg p, cos (4 + An) + B; tg 9 COS (A — Ay)
w == B, sec g, sin (4-+A4,) + B, sec g, sin (2 — Ay) + B, B, tg gp, cos (2 + A0) — Bı Ba tg 2 COS (2 — Agl.
Nun ist .
An == B, die Gleichung der Geraden AP
* En = B, die Gleichung der Geraden BP.
Diese können auch geschrieben werden
u=x-+m-—yB, = 01
Een BaOf
Führt man nun diese schiefwinkligen Koordinaten u und v, deren gemeinsamer
Schnittpunkt das Abbild des Poles ist, ein, so hat man
u—vy= 2m—y(Bı— BJ) und y= a ;
; m —B,
ferner gehen die Gleichungen (4) über in ;
__ x+m u > _ 2mB,—uB;,+vB,
= yo y+Bı = 2m—u-+-Vv
x—m _ v _ 2m P,—uB, + vB,
ya zu
Die Gleichung (9) des Meridians nimmt also in u, v.die Form an
(2m B, —uB, + vB)s-+(@2mB,—uB, + vBlt+4+@Om—u+vy)w= 0
oder 2m(Bs-+B,t-+w)— u (Bıs+Bat-+w)-+v(B,s+B;t+w)= 0.
Der Koeffizient von 2m erhält, wenn man s,t,w mit ihren Werten einsetzt,
 die Gestalt ; ;
B, B, (— B; sec g, sin (4 + 4) — tg gı cos (2 + 2,) + Bz sec gp2 sin (4 — Ag) + tg Po cos (24 — 49).
Ersetzt man ‚in der Klammer .die B, und B, aus (1), so geht die Form
über in ; .
B, Ba [tg gg, (cotg 2 Ay’sin (2 + Ay) — cosec 2 Ag sin (4 — An) — tg gp, cos (4 + A)
tg 2 (cotg 2 Ag sin (4 — Ag) — cosec 2 2, sin (4 + 40) + cos (2 — 4] -
Die Koeffizienten von tgg, und tg @, sind aber die gleichen, deren Verschwinden
 schon oben in (9) gezeigt worden war. Die Gleichung des Meridians
reduziert sich also auf
u(B,s+B,t+w) — v(Bıs+B,t-+w) = 0,
ist also die Gleichung einer Geraden durch den Pol.