Maurer, H.: Kann die Winkeltreue in Einzelpunkten winkeltreuer Karten fehlen? 223
Lambert-Gaußsche Zylinderprojektion und die winkeltreue Kegelprojektion in
nicht normaler [nicht erdachsiger] Lage. Winkeltreue Kartennetze von solcher
Kompliziertheit, daß sie nicht für wenigstens einen Kugeldurchmesser sein Kreis-
system als Lambertsches Kreisnetz wiedergeben, finden sich unter den gebräuch-
lichen in den Lehrbüchern der Kartographie nicht.
G. Zusammenfassung.
In allen gebräuchlichen winkeltreuen Kartenentwürfen bilden sich die Groß-
und Horizontalkreise eines bestimmten Kugeldurchmessers als Lambertsches
Kreisnetz ab, wobei außer im stereographischen Entwurf in den Bildpunkten NS
der Endpunkte jenes Kugeldurchmessers dem Augenschein nach die Winkeltreue
nicht erfüllt ist, die sonst für die ganze Abbildung gilt, (Ohne der Allgemeinheit
Abbruch zu tun, wollen wir uns im Ausdruck auf die Entwürfe beschränken,
wo die singulären Punkte die Pole, ihre Großkreise die Meridiane sind.) Nun
kennzeichnet sich die scheinbare Abweichung von der Winkeltreue nicht so wie
sonst in nicht winkeltreuen Punkten anderer Karten, daß nämlich ein recht-
schnittiges Meridianpaar auch in der Karte rechtschnittig bleibt und alle anderen
nicht, sondern alle Winkel zwischen je 2 Halbmeridianbildern sind gegen .die
Kugel im Verhältnis m vergrößert, wo m für die ganze Karte eine zwischen 0
und co liegende Konstante ist. Die Karte konstruiert sich sonach nicht nach
durch die Pole laufenden Vollmeridianen, sondern nach von ihnen -ausgehenden
Halbmeridianen, und überdeckt in immer wiederholt sich anschließenden Teil-
karten zwischen je 2 um 360° Länge auseinanderliegenden Halbmeridianbildern
die Kartenebene mehrfach. Nur für m = 1 (stereographischer Entwurf) bleibt
Winkeltreue auch für den rohen Augenschein erhalten und überdeckt ein ein-
ziges Kartenbild die ganze Ebene. Für rationales m 0 schließt sich der
Zyklus der Kartenbilder nach endlicher Aufeinanderfolge; für m = — und
n==ganze Zahl wird die ganze Kartenebene von n vollen Erdkarten gerade
ausgefüllt. .
Immer aber bleibt die Winkeltreue wie in der ganzen Karte so auch bis in
jede beliebige Annäherung an die singulären Punkte erhalten. Im singulären Punkt
selbst erleidet (außer für m = 1) jede durch ihn laufende Kurve einen Knick, be-
sitzt aber in ihm nicht nur 2 Tangenten, wie es der Augenschein vortäuscht, sondern
eine stetige Folge von Tangenten. Untersucht mam durch Grenzübergang von
einem nahe am singulären Punkt vorbeigehenden Großkreis zu dem durch ihn
gehenden, welche Tangente aus der stetigen Folge von Tangenten für den
Schnitt mit einer andern Kurve im einzelnen Fall gilt, so zeigt sich tatsächlich
auch im singulären Punkt selbst, dem Augenschein entgegen, die
Winkeltreue gewahrt.
Es empfiehlt sich daher, in der Kartographie Ausdrücke wie »die Karte
ist winkeltreu mit Ausnahme der beiden singulären Punkte« als unzutreffend zu
vermeiden und etwa ‚durch folgendes zu ersetzen: »Im singulären Punkt
besteht für den rohen Augenschein die Winkeltreue zwar nicht, da
sich die von ihm ausgehenden Kurven unter Winkeln schneiden, die
das m-fache .der entsprechenden Winkel auf der Kugel sind. Bei
näherer Untersuchung aber zeigt sich, daß jedes Großkreisbild im
singulären Punkt eine Knickung erleidet, in der es eine stetige Folge
von Tangenten besitzt; von diesen gilt für den Schnitt mit jedem
andern Großkreis immer eine solche, daß trotz des täuschenden
Augenscheins auch im singulären Punkt selbst die Winkeltreue er-
halten bleibt!).«
Berlin, Mai 1919.
1) Aus der Literatur können selbstverständlich Zeugnisse von Mathematikern über das Fehlen
der Winkeltreue in den singulären Punkten angegeben werden, weil man bisher kaum untersucht hat,
ob nicht die nach dem Augenschein vorliegende Unregelmäßigkeit mit mathematischen Mitteln hebbar
ist, Dieser im Interesse .der Einfachheit der Mathematik wünschenswerte Nachweis, daß die dem
Augenschein sich .aufdrängende Ausnahme bei genauerer Untersuchung sich als’ nur scheinbar erweist,
ist in vorliegender Arbeit erbracht. (Anm. bei der Korrektur.)
