220 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, September/Oktober 1919.
D. Die winkeltreuen Kegelprojektionen nach Lambert.
Auch bei diesen, konischen (kegeligen) Entwürfen ist das Begrenzen der
Karte längs zwei Strahlen, die als Halbmeridian-Bilder um 360° Länge ausein-
anderliegen und einen Sektor von m. 360° einschließen, willkürlich. Nach ihrem
Abbildungsgesetz geht auch diese Karte über die beiden Randstrahlen hinaus,
indem in immer neuen Sektoren sich neue volle Weltkarten nach beiden Seiten
anlagern und die Bildebene vielfach überdecken. Ob sich die Aneinanderreihung
von Karten zyklisch schließt, so daß je alle n-ten Karten völlig zusammenfallen,
hängt davon ab, ob m rational ist oder nicht; und eben davon hängt es auch
ab, ob das Bild eines Großkreises in der Karte eine algebraische oder transzen-
dente Kurve wird. Ist m verschieden von 1, so wird jeder Vollmeridian durch
zwei Strahlen abgebildet, die im Pol unter einem Knick zusammenstoßen. In-
folgedessen täuscht der Augenschein auch hier im Pol ein Abweichen von der
Winkeltreue vor; eine genauere Untersuchung aber ergibt, daß das Vollmeridian-
bild im Pol eine stetige Folge von Kurventangenten zwischen den Grenzlagen
der geradlinigen Halbmeridian-Bilder aufweist. Und wenn man vom Bild eines
nahe am Pol vorbeigehenden Großkreises, das eine scharf umbiegende Kurve
darstellt, den Übergang zum Vollmeridian selbst macht, so bleibt auch für diesen
bis in den Pol selbst die Winkeltreue erhalten.
Was über die Winkelverhältnisse am Polbild im Endlichen, dem Schnitt-
punkt der geradlinigen Halbmeridiane, gesagt wurde, gilt ebenso für den andern
Pol, der durch die coferne Gerade wiedergegeben wird [nach dem Halbmesser-
gesetz 0 tg Ze wird für g=-—90° 0= co], Man überzeugt sich hier-
von am einfachsten durch die Tatsache, daß eine solche winkeltreue Kegelpro-
jektion durch reziproke Radien in sich selber abgebildet werden kann, indem
nur die Breiten das Vorzeichen wechseln, so daß der Pol im Endlichen und jener
im Unendlichen Bilder voneinander sind; was also über die Winkelverhältnisse
im einen von ihnen gilt, gilt auch im andern, Bestimmt man nämlich die Ab-
bildung durch reziproke Radien mit Abbildungszentrum im Polbild im Endlichen
durch die Gleichung 0, =. wo 9 = tgn 20 ist, so wird ja
81 = cotm Ag = tgm Zr,
so daß also o, stets denselben Wert für — g@ erlangt, den o für + @ besaß.
E. Lambertsche Kreisnetze.
Werden Meridiane und Breitenkreise als ein solches Netz abgebildet, so
erhält man winkeltreue Karten, in denen die Halbmeridiane Kreisbogen werden,
die sich in beiden Polen unter den m-fachen Winkeln wie auf der Kugel schneiden.
Die Breitenkreise sind das zu diesem Kreisbüschel der Meridianbilder orthogonale
Kreisbüschel.
Die Tafel 8 stellt in der Kreisfläche mit dem Durchmesser NS eine solche
Lambertsche Karte für m = 1/, dar, von der die nördlichen und südlichen
Breitenkreise 0°, 30°, 60°, 80° und 89° und außer den Meridianen 110° und 290°
diejenigen von 60° zu 60° gezeichnet sind. Lambert faßt in der Tat als
seine Karte im vorliegenden Fall nur den Inhalt des genannten Kreises auf.
Es liegt aber allgemein auch bei den Lambertschen Kreisnetzen, wo die Halb-
meridianbilder in den Polbildpunkten N und S die m-fachen Winkel wie ihre
Urbilder auf der Kugel einschließen, so, daß sich an die erste Weltkarte nach
beiden Seiten hin weitere Darstellungen der ganzen Kugel anschließen, von denen
jede ein Kreiszweieck bildet, dessen Grenzkreisbogen sich in N und S unterm
Winkel m. 360° schneiden. Und je ein volles Kartennetz der ganzen Erde liegt
zwischen 2 völlig beliebigen Kreisbogen durch N und S, die den genannten
Winkel untereinander bilden. Auch hier schließt sich die Aufeinanderfolge von
Karten zyklisch, wenn m rational ist. In unserm Beispiel m = ?!/, entstehen nur
2 volle Weltkartennetze, die zusammen gerade die Ebene einmal ausfüllen. Zu
der Fläche des Kreises vom Durchmesser NS bildet die zweite Weltkarte die
