216 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, September/Oktober 1919.
klappenden halben Hyperbel Ai = 901) in der Brennpunktsordinate schneiden
also die x-Achse unter den Winkeln -+ 45° und stehen somit senkrecht auf den
Tangenten der Ellipse g=0. Tatsächlich schneiden sich also auch in den
beiden singulären Punkten Äquator und Meridian rechtwinklig, obwohl
der Augenschein einen Schnittwinkel von 180° vortäuscht.
Man muß hier gewissermaßen mit einem unendlichfach vergrößernden
Mikroskop den singulären Punkt betrachten, in dem sich Tangenten von allen
Richtungen vorfinden, um unter ihnen diejenigen zu ermitteln, die für den
Schnitt der beiden Kurven in Betracht kommen. Es wäre ebenso ungerechtfertigt
anzunehmen, daß der Schnitt der beiden Kurven in ihren Scheiteln
erfolge, in denen beide parallele auf der x-Achse senkrechte Tangenten haben,
wie den Schnitt dort anzunehmen, wo beide Kurven nach entgegengesetzten
Richtungen der x-Achse hin den singulären Punkt verlassen.
5. Bild eines anderen Großkreises, Untersuchen wir nun noch einen andern
durch die Punkte OW gehenden Großkreis, z. B. denjenigen, der den Äquator
unter 45° schneidet. Es habe also in Figur 1 der Punkt A die Koordinaten
p=—45, 1=0. Ein beliebiger Großkreis, der durch diesen Punkt A (= 465,
A=0) aber nicht durch O0 (#= 0, 1= 90) sondern durch den Äquatorpunkt G
(p=0, 1= 4) gehen möge, hat die Gleichung:
(5) sin (29, — 4) = sin Ay tg g@,
wie aus der Figur 1 leicht abgelesen werden kann. Nennt man den Winkel bei
Gy, so folgt aus A AMG, wo AM = 45° und MG = ist: sin Ay= coty, und
aus 4 FDG, wo DF=g und DG= 4 — 4 ist: sin (4 — Ä)=coty tg g. Aus
beiden Gleichungen folgt (5), Das Bild des Großkreisbogens AFGH ist A'F'’G’H';
über den weiteren Verlauf eines ganzen solchen Großkreisbildes vgl, Ann. d,
Hydr. 1919 S. 18.
Im Grenzfall, wo der Punkt G in O rückt, also A, = 090° wird, geht
Gleichung 5 über in
(5a) cos 4i=tgp.
Die Abbildungsgleichungen (1) und (2) für den Littrowschen Entwurf
werden also unter Berücksichtigung von (5a) nunmehr:
(la) x= sin Ä sec gp = sin 4 V1 + cos? 2
(2a) y=cosÄtggp = cos? A;
und eliminiert man A aus (1a) und (2a), so ergibt sich als Gleichung der Bildkurve
des Großkreises cos 4 = tg in der Littrowschen Karte:
x y= 1,
Es wäre aber grundfalsch, den vollen Kreis mit dem Radius 1 als das
Bild des ganzen Kugelkreises cos 4 = tg g aufzufassen. Die Gleichung (2a) zeigt
ja, daß nur positive Werte von y vorkommen können. Die Bildkurve
besteht also nur aus dem Halbkreis mit positivem y; und zwar gilt dieser doppelt,
da nach (1a) und (2a) jeder Punkt dieses Halbkreises sowohl für den Wert Ä
wie für den Wert (180 — 4) gilt.
In den Punkten O0’ und W’ kehrt also die Bildkurve in sich selbst zurück;
und sie hat in diesen Punkten wiederum Tangenten von allen Richtungen. Wir
wollen bestimmen, welche unter . allen diesen Richtungen für den Schnitt mit
dem Äquator, und welche für den Schnitt mit dem Meridian i= 90° gilt. Zu
diesem Zweck gehen wir von der allgemeinen Gleichung (5) des Großkreises
AFGH aus, Wir haben sie zusammenzunehmen mit den Abbildungsgleichungen
(1) und (2). Differenziert man diese drei Gleichungen, während g, A, x und y
die Variabeln sind, und eliminiert aus den drei entstehenden Differentialgleichungen
*) Man kann hier nicht sagen: „Für 4 == 90 zerfällt die Hyperbel und verliert die ursprünglichen
Eigenschaften der Kurve“, sondern muß fragen: „Was ist das Bild des Halbmeridians 24 = 907°
und findet dafür den Doppelstrahl 0’P” co» dessen Eigenschaften aus dem Übergang von einem unendlich
benachbarten Meridian in 4 = 90 festzustellen sind. .
Die Bilder von Aquator und Meridian 4=90 sind also nicht „2 Geraden“, sondern eine Doppelstrecke
und ein Doppelstrahl, deren Umkehrpunkte aufeinanderfallen. (Anm. bei der Korrektur.)
