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Annalen der Hydrographie und ’Maritimen Meteorologie, Juli/August 1919.
D. Zur Winkeltreue der Littrowschen Karte.
Herr Maurer sagt: »Man sieht so, daß die Winkeltreue auch in den
Punkten O und W als bestehend angenommen werden darf.« Diese Behauptung
Fig, 4 ist falsch. In den Punkten O und W besteht keine Winkeltreue,
wie ein Blick auf die Azimutmeßkarte (Tit. XIV, 4)
zeigt, vgl. Lehrbuch für den Unterricht in der Navigation
an den Deckoffizierschulen der Kaiserlichen Marine, Berlin
1918, Tafel II oder Ann. d. Hydr. usw. 1918, S. 210, Figur 1.
S. 209 habe ich betont, daß »die Großkreise durch den: Punkt
= 0°, t=6h in der Karte.als Kreise abgebildet werden, die
sich unter Winkeln schneiden, die doppelt so groß sind als die
entsprechenden Kugelwinkel«. Zum Beweise möge die Gleichung
dieser Kreise abgeleitet werden, Sei POA ein Quadrantendreieck der Kugel,
also PO=PA=O04 = > Ein beliebiger Großkreis AS schneide OA unter
dem Winkel &. Für alle Punkte dieses Großkreises ist & unveränderlich. Ein
beliebiger Punkt des Großkreises habe die Kugelkoordinaten g@ A. Dann ist nach
der Neperschen Regel für rechtwinklige Kugeldreiecke:
tang & = tang gp sec A
In der Littrowschen Karte ist!):
X = tang g cos 4
y = sec gsin 4 }
y* Li 1
1—cos?2 cos? 2 )
y?cos? 4 — x? + x? cos? 2 = cos? 4 — cost 2
cost 4 + (x? + y?— 1) cos? A = x?
wi = ze +yY—- EVER
Aus (1) und (2) ergibt sich ferner:
tang 4 = x sec? ;}
cos? A = xcotd ft © 5
x ebd ty 1) = VL LG? at 1)
z?cot? 4 + x cot d (z Ay? — N) 40 + y?— 1)2 = By
x? (cot2 4 — 1) + x cot #(z1 + y?—1) = 0
cot2@ — 1
X +y? =-1
x? | 2xtang203+tang?20-+y? = 1+ tang? 24
(x+tang 230)! y2 = (8se6628% . .... ;„.Ä.. 6
(5) ist die Gleichung des Großkreises in der Littrowschen Karte. Der
Mittelpunkt des Kreises liegt auf der x-Achse, sein Halbmesser ist sec 20. Die
Koordinaten des Mittelpunktes sind
x = —tang24; y=0
Der Kreis schneidet daher die X-Achse im Abstande OF = sec 2 +} — tang 2 4
= tangd. Da in der Karte OA = 1 und OF = tang% ist, so bildet die
Gerade AF mit AO in A den Winkel &. Diese Gerade ist eine Sehne des durch
(5) bestimmten Kreises, Da der Kreisbogen AF außerhalb der Sehne liegen muß,
so muß er mit AO in A einen größeren Winkel bilden als die Sehne, Man findet
leicht, daß der Winkel gleich 24 ist. Die Littrowsche Karte ist mithin in
diesem Punkte nicht winkeltreu, was zu beweisen war.
Herr Maurer erhebt hiergegen den Einwurf, daß nicht der Kreis den
ganzen Kugelgroßkreis darstelle, sondern nur einen Bogen desselben. Die Endpunkte
A und der Gegenpunkt von A seien deshalb gewissermaßen als Spitzen
des Bogens aufzufassen, und in den Spitzen könnten die Tangenten alle möglichen
Richtungen annehmen. Die Fortsetzung des Bogens werde auf einem
anderen Blatte der Riemannschen Doppelebene abgebildet. Riemann ist schon
selbst bestrebt gewesen, diese n-Deutigkeit der Windungsfläche durch eine Ein-»
Ann. d, Hydr. 1905, S. 126.
