176 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Juli/August 1919, 
des ersteren ist, derart schneiden, daß f, an dieser Stelle schneller fällt als f,, 
so müßte für alle dazwischenliegenden Breiten 
L>% 
oder (p — go) see p — (M — Mo) > 4 (p — po) (M — Mo) tg g 
sein, während in den gemeinsamen Punkten der Kurven die Funktionen f, und f, 
einander gleich wären. Daraus ginge aber auch hervor, daß die Funktion 
(9) = fi (9) — % (g) für einen dazwischenliegenden Punkt ein Maximum erreichen, 
daß also für eine gewisse Breite 
f’(g) = fl) — = 0 
oder 2sinp— (p— Po) cos p_ (p— pol sec pg — (M — M,) 
BT MM 
sein.müßte, Durch Verbindung beider Bedingungsgleichungen folgte 
3sin2gp—2(p—w)C-+cos2g)>0, 
d. h. die Funktion y wäre an dieser Stelle positiv, während sie doch an der 
Berührungsstelle der Kurven f, und f, den Wert Null hätte, Das widerspricht 
aber der Eigenschaft der Funktion, die mit wachsendem x abnimmt. 
Es bleibt also nichts anderes übrig, als daß im Falle g, > 0 an der Stelle 9, 
keine Berührung, sondern ein Schneiden der Kurven statthat und daß sonst kein 
gemeinsamer Punkt zwischen %, und 5 vorhanden ist, daß aber im Falle 9, = 0 
sich die Kurven an der Stelle gy = 0 berühren und sonst keinen gemeinsamen 
Punkt zwischen @, und > haben. 
Anmerkung, Zu diesem Beweise sei noch folgendes bemerkt: Daß die Gleichung (17) eine 
Lösung hat, läßt sich mühelos ohne Heranziehung der Differentialrechnung allein mit Hilfe geo- 
metrischer Betrachtungen an der Fußpunktskurve darlegen. Es ist aber zu beweisen, daß die Gleichung 
aäne einzige Lösung hat, und zu dem Zwecke ist es nötig, die größere mathematische Entwicklung zu 
machen, Der letzte Teil des Beweises, in welchem gezeigt wird, daß die Kurven f, (g) und f, (g) nicht 2, 
sondern nur 1 gemeinsamen Punkt haben können, läßt sich auch mit Hilfe der Fußpunktskurve 
erledigen, ich habe es aber vorgezogen, einen unabhängigen Beweis zu geben, 
Damit ist bewiesen, daß es zu jedem Grundpunkte stets ein einziges Paar 
durch die Gleichungen (11) und (15) definierter Wendepunkte gibt, die gleich- 
namige Breite mit @ haben; sie liegen symmetrisch zum Grundmeridian. 
Für % = 0 liegen die Wendepunkte auf dem Äquator. Die Ausdrücke (12) 
und (13) ergeben für = 0 und = 0 die Grenzwerte e„ == /3 und Ay = + 83, 
welche die Lage der Wendepunkte kennzeichnen. 
Jetzt soll gezeigt werden, daB, falls @,>0 ist, auf südlicher Breite kein 
Wendepunkt liegen kann. Zu dem Zwecke brauche ich nur das Intervall 
X 
> bis w zu betrachten, Es gelten folgende Gleichungen: 
h-3)=0 = Neil = 06 = COS 
S+ 
1 0 ; f 
(3) = za = og EEE 
Nach den Ausführungen auf Seite 174 ist die Ableitung f,’ (g) im Intervall 
. zu . 2 
5 bis wW stets positiv, also f, (g) stets wachsend. Ferner ist fo’ (— z) = + 
folglich wächst auch f, (@) sicher im Anfang. Nun ist der Zähler von f,’(g) 
stets abnehmend, weil sein Differentialquotient gleich — (# — @) sin dd — cos g@, 
Fig. 3. also stets negativ ist, er kann daher höchstens für einen 
Wert von @ verschwinden. Mithin steigt entweder f, (@) 
im ganzen Intervall —5 bis w oder aber bis zu einem 
Maximalwert und nimmt dann ab bis zu dem Werte f, (wW), 
der >f, (wW) ist. Jedenfalls ist klar (siehe Fig, 3), daß 
sich die Kurven nicht schneiden können. 
Es ist also jetzt folgendes festgestellt: Zu jedem 
Grundpunkt (9,)>0; 0) gehört auf der Erde ein 
A