Wendt, E.: Loxodromische Entfernungen.
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Die kleinste Breite, für welche die Kurven einen gemeinsamen Punkt
(Schnittpunkt oder Berührungspunkt) haben, heiße g,. In diesem (siehe Fig. 2)
muß f, schneller oder ebenso schnell als f, fallen, d. h. es muß sein:
. — PS — 0 Rn
oder: * 28sin g, — (Pı — Po) COS Pr — (Pı — Po) SEC Pr — (M, — Ma) ;
3 - MM)
wo das Ungleichheitszeichen im Falle eines Schneidens, das Gleichheitszeichen im
Falle einer Berührung gilt. Für die Breite 9, muß die Gleichung (17) erfüllt
sein, die sich auch in der Form schreiben läßt:
(pı — po) sec yı — (M, — Mo) = 3 (91 — Po) (M, — My) tg Pı,
folglich 2 8in 91 — (Pı — Po) COS Pı _ (Pı — Po) LE Yı
3 = 3(M, — Mo)
tg 1 UL (0 — PIE
S 757 1008 pr +4 (91 — Po) sin ge]
sin q, S (Pı — Po) COS Yı +3 (91 — Po tg gı Bin Pr,
5 (gı — Po) (1 +2 cos? g,)
sing, S 3008 g
3sin2 9, —2(g, — Po(2 cos 2 pi <0.
Ich betrachte nun: die Funktion .
y = 3sin2x — 2 (x — yo @-+0os2x); HSXxEZ
Ihre Ableitung ist: )
y = 6cos 2x +4 (x — go) sin 2x —2(2-- cos 2x)
= 8 sin x cos x (x — 9) — tg x],
also sicher negativ, weil für spitze Winkel x stets tg x > x >x-— @% ist. Mithin
muß y mit steigendem x fallen. Wenn also die Funktion y für einen Wert x = gi
negativ oder Null ist, so muß sie für jeden Wert von x, der größer als @, ist,
ginen negativen Wert haben. Das bedeutet aber, daß, wenn die Kurven noch
einen weiteren gemeinsamen Punkt außer @%, haben sollten, dieser sicher kein
Berührungspunkt sein kann, sondern ein Schnittpunkt sein muß, in welchem die
Funktion f, schneller fällt als f,. Ein dritter gemeinsamer Punkt (Schnittpunkt)
ist also jedenfalls ausgeschlossen, weil in diesem aus geometrischen Gründen fy
schneller als f, abnehmen, also ;
— (9) > — 1 (g) ;
oder 3sin2g—2p—phC+cos2g)>0
sein müßte, Aus analogen Gründen folgt, daß, wenn @%, einen Schnittpunkt dar-
stellt, kein weiterer Schnittpunkt vorhanden sein kann... . . I
Im Falle zu 0 gibt es also. zwischen @, und 5 entweder nur einen
Schnittpunkt der‘ Kurven oder höchstens zwei gemeinsame Punkte, von denen
der eine, welcher, der Breite g, entspricht, ein Berührungspunkt, der andere,
dessen Breite größer als o, ist, ein Schnittpunkt sein muß, in welchem f, schneller
als f, fällt. A . ;
Ist 9, =0,'so gehen die durch die Funktionen fi (g) und f£f, (@) dar-
gestellten Kurven von dem gemeinsamen Punkte aus, dessen Abszisse 0 und
dessen Ordinate 1 ist, in horizontaler Richtung, einander berührend, und fallen
beide ständig in dem Intervall von. 0 bis zZ die erstere bis auf den Wert 0, die
letztere bis auf den Wert &- Die ständig fallende Funktion ;
. y = 38ein2x — 2x (1 + cos 2x) . ;
hat ‚aber für x= gg =0 den Wert Null, sie muß also für x = gı 0 negativ
sein, d. h. die Kurven müßten sich in g, schneiden, und zwar so, daß fi schneller
als f, fällt. Ein weiterer Schnittpunkt der Kurven ist nicht möglich.
Wenn es aber möglich wäre, daß sich die Kurven f, und f, in einem
Punkte @%, bzw. @, berühren und in einem anderen, dessen Breite größer als die
oder
