Wendt, E.: Loxodromische Entfernungen.
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Wenn sich diese aber auflösen lassen sollen, so muß :M — Mo dem abso-
Juten Betrage nach kleiner als (p — @o) Sec @ sein. Das ist aber nach den
Betrachtungen auf Seite 170 nur möglich, wenn entweder 9 <w oder gp > wm ist,
aber nicht möglich, wenn # <Jp<w% ist.
Denkt man sich %o und @ beliebig gewählt, nur so, daß @ nicht zwischen
og und ww liegt, und berechnet sich dann aus jenen Gleichungen «, e, 2, so stellen
offenbar die so gewonnenen auf der Fußpunktskurve befindlichen Punkte (g, A)
und (g, — 4), die symmetrisch zum Grundmeridian liegen, auf der betreffenden
e-Kurve Punkte dar, für welche I verschwindet. Alle Punkte, in‘ denen die
Länge ein Maximum oder Minimum erreicht — und solche Punkte gibt es aus
geometrischen Gründen nach den Ausführungen auf S. 171 —, liegen auf der
Fußpunktskurve. . Es fragt sich bloß, ob jeder Punkt dieser Kurve, der also der
Bedingungsgleichung (11) oder (12) oder (13) entspricht, wirklich einen extremen
Wert der Länge auf einer e-Kurve liefert... :
Da die Auflösung der Gleichungen (11) oder (12) oder (13) fordert, daß
nicht zwischen und %% liegen darf, so zerfällt die Fußpunktskurve, falls
% — 0 ist, in zwei vollständig. getrennte Teile, in einen nördlichen
Teil, der nördlich von %) liegt, und einen südlichen: Teil, der südlich
von v=—wW liegt. Ist gy=0, so liegt die Kurve symmetrisch zum
Äquator und zerfällt nicht.
Ehe ich aber auf den genaueren Verlauf dieser Fußpunktskurve eingehen
kann, ist es nötig zu entscheiden, ob die der Bedingung (11) oder (12) oder (13)
genügenden Punkte einer e-Kurve wirklich solche sind, in denen die Länge einen
extremen Wert darstellt. Zu dem Zwecke bilde ich den zweiten. Differential-
2 x
quotienten 3 Ich schreibe die Gleichung (8) in der Form:
a Co8 «Sin & (P — Do) == sin? a + (p — @o) — (M — M,) cos g.
Durch Differentiation erhalte ich:
(p — Po) onen Er MS A
z d za dd „dd
= 2(g — go) sin « cos a Sag + inte Gar co8 PM — Mo) sin IM
= —2 (g — go) sin &@ cos a LE. 4 sin? cos p — cos p + (M — M.) sin g cos g
= — 2 cos? @ cos g — cos p cos?! x + (M — M,) sin g cos’
= cos p {— 3 cos?a +(M — M,) sin gg) ; I
Für jeden Punkt einer e-Kurve, dessen Länge einen extremen Wert hat,
ist A=0, man erhält also für jeden solchen Punkt, der natürlich auf der Fuß-
punktskurve liegt, .
(14) d?2 _ cos p - [(M — M,) sin g — 3 c0s?a]_
dM?2 (P — Po) COS a Sin « .
Wenn dieser Ausdruck positiv ist, so stellt die Länge des betreffenden
Punktes auf der e-Kurve ein Minimum dar; wenn. der Ausdruck negativ ist, so
ist die Länge ein Maximum; ist der Ausdruck gleich 0, so ist der Fall zweifel-
haft: Deswegen muß vor allem ‚untersucht werden, ob der Ausdruck (14) ver-
schwinden kann. Schließt man den Fall 9 = 90° zunächst aus, so muß sein:
(15) ca = M— — Moin P,
Punkte, welche ‚dieser Gleichung und der Gleichung (11) gleichzeitig ge-
nügen, werden besondere Eigenschaften besitzen. Ich will sie in Übereinstimmung
mit Herrn Immler aus einem später ersichtlichen Grunde „Wendepunkte“
nennen, Für sie folgt aus (11) und (15) ;
(16) 1 == sin?a + costa = M—Mo)cosp _, (M — Mo) sin g
; P—% 3
ader: Il cos Sing
M— Ma 0-—00 3
