Exner, M. F.: Über oszillierende Strömungen. in Wasser und Luft, 157
Liegen. x und y horizontal und sehen wir von der Erddrehung ab, so sind
die äußeren Kräfte X —= Y=0. Nun soll die Bewegung u, v ein Geschwindigkeits-
potential g haben, so daß A = u, 5 = vi Dann werden aus den obigen drei
Gleichungen die zwei folgenden:
a CZ
03x? + 0y3 9,
_ pi ef(99Y (99 ‘)
p= PA 2 ((9EY+(9E)
wo P eine Konstante ist,
Wir wählen für @ die bekannte Lösung!) der wellenförmigen oder
oszillierenden Bewegung bei Strömung nach der positiven x-Achse und schreiben:
a b—)) zab—7))
P = Ax—Boeosaxle +e .
Die Geschwindigkeitskomponenten werden
. (0 zz a—7))
u = A-+Basin ax ie +e ’.
(A — zab-—y))
v = Bacos «x \e —e .
Für y = b wird v = 0, die Strömung ist dort geradlinig; ist yZb, so
wird, v von null verschieden, und zwar um so mehr, je weiter von der Geraden
y = b wir uns entfernen.
Die Strömungslinien sind bekanntlich bei Potentialbewegung durch die
Funktion w& gegeben, wo
Öw og ö% _ do
dx Ay, A az x’
Man findet aus obigen Gleichungen leicht:
max (0 740)
Y = Ay— Bsingx\e — € = K.
Jeder Strömungslinie entspricht ein anderer Wert K, Für diejenige zum
Beispiel, welche durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems (x = y = 0)
hindurchgeht, ist K= 0. nn
Um die Bedeutung von A und B zu erhalten, wollen wir für den Koordinaten-
anfangspunkt annehmen: u = ug, v= vo. Dann wird
- ab —«ab
= A, % = Bub ee”)
A ist mithin die mittlere Stromgeschwindigkeit in der x-Richtung. >
Die Größe a =: Zn ist durch die Länge der Welle bestimmt, Ba durch die
Querbewegung in der Welle gegeben. Die Stromliniengleichung ist nun
© a0b—y) —a0-—y)
„X 1 Yo sinax iS, ;
a Un T «Wo ab —ab
e€ —e€
Die Größe K ist der Parameter der Stromlinien, Man sieht sofort, daß
die geradlinige Bewegung nur für den Fall vo = 0 eintritt. Für jede andere
Anfangsbedingung erhalten wir oszillatorische Bewegungen in der Flüssigkeit,
sö daß älso die geradlinige Strömung. wirklich nur als vereinzelter Fall unter
allen möglichen Potentialbewegungen erscheint.
Die Oszillationen sind num keine einfachen Sinuswellen, sondern Wellen,
in welchen der Wellenberg stets weiter als das Wellental von der Mittellage ent-
fernt ist. Da für y = b: die Bewegung geradlinig ist, so.ist von dieser Seite
her: Zu beurteilen, was Wellental, was Wellenberg ist. Je größer b—y, desto
größer wird der Einfluß des zweiten Gliedes in der obigen .’Stromgleichung,
desto mehr wächst‘ also die Amplitude der Welle,
Um eine Vorstellung von den Strömungslinien zu erhalten, die durch die
Gleichung gegeben sind, habe ich die Gleichung für den Fall ausgewertet, daß
1! Siehe dazu z. B. Lambs Hydrodynamik.
