Maurer, H.: Loxodromische Dreiecke.
DAT
Loxodromische Dreiecke.
Von H, Maurer- Berlin.
Zu dem gleichnamigen Aufsatz von Herrn Professor Wedemeyer auf
S. 137 dieser Zeitschrift, Jahrg. 1918, möge hier eine Bemerkung folgen, die
Vielen das Verständnis der interessanten Mitteilung wesentlich erleichtern dürfte.
Das Dreieck rechts in der Figur 1 auf S. 138 ist irreführend. Ein ebenes recht-
winkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die loxodromische Entfernung e und dessen
eine Kathete Acosg, ist, ist für die Frage nicht von Wert. Insbesondere ist
nicht die zweite Gleichung (1) aus diesem ebenen Dreieck abzuleiten, wie der
Leser annehmen wird, da die erste Gleichung (1) aus dem ersten Dreieck der
Figur 1 (dem Dreieck aus der Merkatorkarte) abgeleitet ist, und da beide
Dreiecke einander ähnlich gezeichnet sind, so daß der Beschauer auch an der
Ecke @, den Winkel k vermutet und als Länge der andern Kathete‘ (9, — 1)
annimmt. Ein ebenes rechtwinkliges. Dreieck mit Hypotenuse e und Kathete
2cos.p, würde weder als andere Kathete (g, -— g,) noch den Winkel k gegen-
über der Kathete Acos g, haben, wie es sein müßte, um aus ihm nach den
Formeln der ebenen Trigonometrie die zweite Gleichung (1) ablesen zu können.
Tatsächlich wird diese Gleichung in der Arbeit überhaupt nicht abgeleitet,
sondern: als‘ bekannt vorausgesetzt. Nach der Anmerkung auf S. 139 über
Months wäre ihre. Ableitung aber doch wohl zweckmäßiger mitgeteilt‘ worden,
Diese. Ableitung ‚ist die folgende:
Nehmen wir auf der Kugel ein rechtwinkliges Elementardreieckchen an,
dessen Hypotenuse das Bogen-Element de der Loxodrome vom Kurswinkel k
und dessen eine Kathete das Meridian-Element de ist, so gilt: .
; | de = dgseck, E ;
wo k für die ganze Loxodrome konstant ist; es wird also integriert die Bogen-
länge der Loxudrome
e = (2 — gı)seck,
Dies ist die zweite Gleichung (1); und sie besagt, daß es zum linken
Dreieck der Figur 1 ein ähnliches ebenes Dreieck gibt mit der Hypotenuse e,
der Kathete (g, — g,) und dem Winkel k zwischen beiden, Die andere Kathete b
dieses Dreiecks ist aber nicht etwa A cos @,, wie man nach dem rechten Dreieck
der Figur 1 und der zweiten Gleichung 1 versucht ist anzunehmen, sondern sie
ist laut Ähnlichkeit der beiden Dreiecke:
b Alyı—y) A (9a — Yı)
Mı — Mi tang (45 4 27
log Dat —z——
tang (45 + Zı)
Wir stellen also neben das Merkatorkartendreieck links in Figur 1 ein
ihm ähnliches rechts, in dem aber die unzutreffende Kathetenbezeichnung
A cos wg, wegzulassen, die andere Kathete mit (9, — gp,) und der Winkel. an der
Spitze: mit k zu bezeichnen ist. Aus der Ähnlichkeit dieser beiden ebenen
Dreiecke folgt unmittelbar in der Form:
LO
; AZ — M,—M, |
die in Worte gefaßte Gleichung (5) S. 139, auf der der Hauptinhalt der Arbeit
beruht. - ; ;
Daß in der Tat im rechten Dreieck der Figur 1 (mit. Kathete A cos o,)
der Winkel bei gg, — er heiße a — nicht allgemein = k sein kann, ist leicht zu
sehen. Setzt man der Einfachheit halber g, = 0, so ist nach dem Dreieck rechts:
esina = A, ;
Es ist aber nach der zweiten Gleichung (1):
ecosk —
