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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, März/April 1918.
Ein günstiges Beispiel ist das folgende:
= 50° 22, = 8° 26,
log sin? 3 =— 6.9572018
log cost L:E% _ 9.9404972
— 6.8976990
9.3815990
log co? S- — 9.9996062
log sin LO — 9,3819928
9.3815990
— logsec1x = 0.0014225
log sin? -5- == 9.83830215
h — 310 7.408.
log tang? x — 7.5161000
Die vierstellige Rechnung muß also log sin? 5 = 9.3830 und daraus mit
Interpolation aus vierstelligen Tafeln h = 31° 7,5’ ergeben.
Ich will zum Schluß aber nicht verfehlen, noch auf eine andere, wenn auch
nicht direkte und nicht so bequeme Höhenformel hinzuweisen, für welche der
Gesamtfehler (aus Abrundung und logarithmischer Rechnung) noch geringer ist:
Es ist die von mir in diesen Annalen, Aprilheft 1903, entwickelte Formel
ze t9 Pd nt „ein tkt +28 an Azad ok
B_h— 2 2 2 2 2 2
ch GB
cos A «sin 1’ cos A ‚sin 1
wo h, ein näherungsweise bekannter Wert von h ist, während h, — h in Bogenminuten
gefunden wird. Auf genaue Werte von cos A kommt es nicht an,
so daß dafür auch cos h, genommen werden kann, Dagegen muß die Logarithmendifferenz
der beiden rechts stehenden Ausdrücke mit aller Schärfe berechnet
werden.
Bezeichnet man diese wieder mit a und b, wobei a}>b sein möge, so ist
also log a und log b-bekannt und es soll a —b gesucht werden. Wie früher
ergibt sich leicht, daß der Fehler von a—b gleich ae,—be, wird, wo e, der
Fehler von log a und &, der Fehler von logb ist. Sind a und b klein, so wird
damit h,-—h mit. einer Schärfe gefunden, die unter Umständen (so z.B. bei
kleinen Stundenwinkeln) fast an die Schärfe siebenstelliger Rechnung nach andern
Formeln heranreicht. Für große a und b wird der Fehler bedeutender; das
Maximum bleibt aber auch dann noch, wenn man gleichwertige Hilfsmittel benutzt,
unter dem Fehlermaximum einer jeden direkten Formel, namentlich
wenn man I
log x x (10g sin EP 0 + log sin? At — log cos? Aa ‘— log cos? 9
—+log cotg? 5-setzt
und somit log zz mit einem Fehler von höchstens 1.5 Einheiten der letzten
Stelle berechnet. Das Fehlermaximum wird dann ;
für h=0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
bei vierstelliger Rechnung 0.6’ 0.6’ 0.6’ 0.5 0.5 04' 0.3 0.2' 0.1’ 0.0.
Ein eigentümlicher Umstand ist dabei noch der folgende. Für dasselbe h
ist das Maximum des Fehlers der logarithmischen Rechnung noch abhängig von
@ und 6, da a sehr nahe (und ebenso das wenig verschiedene b) gleich
[cos (? + 8) + cos z] + [cos (p — 8) — cos z]
2 cos gp + cos ö- cos h- sin 1’
ist, wie man an der zitierten Stelle nachlesen möge. Also ändern sich a und b
gesetzmäßig mit w@, 0, z und für ein gegebenes z kann a, je nach der Größe von
g@ und 6, alle Werte von Null bis zu einem bestimmten höchsten Werte annehmen.
Daraus folgt dann, daß man. zur Bildung des Gesamtfehlers (Abrundungsfehler
+ Fehler der logarithmischen Rechnung) nicht einfach die einzelnen
