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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte. — 55. Bd., Nr. 2
Der Verzerrungsfaktor k wird also durch eine Cassinische Linie dargestellt, deren Brenn*
punkte vom Mittelpunkte um 1 auf der y*Achse abstehen, also die Ecken des Quadranten*
dreiecks sind. Die Kurven (45) sind die rechtwinkligen Schnittkurven der Hyperbeln (43),
wie später gezeigt wird. Die Reziproken von (45) sind die rechtwinkligen Schnittkurven
von (44). Dazu gehört auch der Meridian X — 45°, d. i. eine gleichseitige Hyperbel.
Die Haupt* und Nebenkreise, die Kreise durch 0 und w, sind im allgemeinen die
Reziproken von Pasca/schen Schnecken jsiehe das Netz q = tang 2 ^ j. Aus dem Kreisnetz
sind fünf winkeltreue Netze hervorgegangen.
Ist eine A*Azimutgleiche in die Karte eingezeichnet, so wird man die entsprechenden
B*Werte erhalten, indem man auf der ^»Ellipse entlang geht und den Punkt X' = 90 3 — X
aufsucht, wie aus (39) hervorgeht; man nennt diesen Vorgang: Spiegelung gegen die
gleichseitige Hyperbel X = 45°. In gleicher Weise erhält man k, denn der Abstand eines
Punktes vom Mittelpunkt der Karte ist a — )'sec 2 (f — cos 2 Z Die Längen der Azimut*
gleichen A geben also den Verzerrungsfaktor k. Ist daher das Netz der Meridiane und
Breitenkreise gezeichnet, so kann man die B*Hyperbeln mit ihren rechtwinkligen Schnitt*
kurven punktweise einzeichnen. Die a*Kreise sind Azimutrestgleichen. In ähnlicher
Weise erhält man aus den «* und h*Kreisen die Bernoullischen Lemniskaten C nebst
ihrer Orthogonalschar. Durch die Spiegelung gegen den Einheitskreis ergeben sich diese
Kurven.
d) Tangenten und Asymptoten. Die Azimutgleichen A schneiden die X*Achse
unter dem Winkel jt=180° — A. Die Linien 7t— 1°, 2°, 3\ . . . sind die Asymptoten
der Meridianhyperbeln 1°. 2°. 3°. . . . In einem Kegelschnitt ist die Halbierungslinie
des Winkels zwischen den Brennstrahlen die Tangente an die Hyperbel und die Normale
der Ellipse. Legt man durch den Berührungspunkt und die Brennpunkte einen Kreis, so
schneidet er die kleine Achse in zwei Punkten. Verbindet man den Berührungspunkt
mit diesen beiden Punkten, so hat man im Berührungspunkt die Tangenten an die Hy*
perbel und die orthogonale Ellipse gezogen. Diese Konstruktion ist von Archibald Smith
1838 angegeben. Bei der Beschäftigung mit der Azimutmeßkarte findet man diese Kon*
struktion leicht wieder. Verfasser hat sie 1912 in der Zeitschrift für Mathematik als
Aufgabe gestellt, worauf Lampe den Hinweis auf Smith machte. Da der Mittelpunkt des
Kreises auf der X*Achse liegt, kann der Kreis ohne den Punkt — 1 gezeichnet werden.
H. Maurer fand rechnerisch (Ann. d. Hydr. 1905, S. 129), daß die Hvperbel*Tangente mit
der kleinen Achse einen 4- y einschließt, der aus tang y = sin cp tang X folgt. Dieser Winkel
ist vom Verfasser später mit tp bezeichnet und ist der Winkel, den die Tangente an die
Azimutgleiche mit dem Hauptkreis zwischen Berührungspunkt und Funkbake (Stern)
bildet; er spielt in der Funkortung eine große Rolle. Im vorliegenden Fall ist die Y*Achse
die große Achse, die X*Achse die kleine Achse der Kegelschnitte. Nach den elementaren
Lehrbüchern der analytischen Geometrie schneidet die Ellipsentangente die große Achse
unter dem tf> und es ist
y cos 2 (p
tangt/,= 9)13115L (39)
Auf Seite 14 bei der Konstruktion der Tangente an die Cassinische Linie war ebenfalls
gefunden tang y = sin (p tang X. Da die Azimutgleichen A, B, C auf der Kugel die gleichen
Kurven sind, werden die X-'/'i und xp 2 die entsprechenden Tangentenwinkel der Azimut*
gleichen B und C sein. Die Tangente an B wird mit dem Hauptkreis co den X i/A und
die von C mit dem Hauptkreis a den 4-^2 einschließen. Leicht kann man daher die
Tangenten an alle 6 Kurven und ihre senkrechten Schnittkurven ziehen.
