Immler, W.: Die Linien gleicher Azimutdifferenz und das Pothenotsche Problem auf der Kugel. 281 
nun ist unter Zuhilfenahme von (32b): 
(1 — cos? d) sec? 6, sec? dp = (1 +v7 (1 + v2) — (7, vo + cos 2 m)?, 
(1 — cos? d) sec? 6, sec? ö, sec? g = (1 + vı? + va? — 2 v, va cos 2” — cos? 2 n) . 
-+tang? gp (1 va —2v, vco822-— cos? 24 (32e) 
Durch Multipikation von (32b) mit der letzten Zeile von (32c) erhält man: 
2 cos d cOs 2, COS Z, sec? d, sec? 6, sec? p.— 2 tang? g v, va (Yı va + cos 2 x) +2 tang g: 
; (v, COS tg -}- 72 COS t,) (Vj V2 + cos 2 x) +2 cos t, cos tg (v; va -Fcos2») . . . (32f) 
endlich: 
— cos? z, sec? 6, sec? 6, sec? p = — [tang? gp (1-+v4?) +2 tang g v, cos t, (1L-+v4?) + cos? t, (1 E 
und * ; 32 
— cos? z, sec? d, sec? ö, sec? pı = —[tang? gp (1 + v,?) +2 tang g v, cos t, (1-+v,?) + cos? t, (17,71 © 
Addiert man die drei Terme (32e—g) und ordnet nach tang @, so erhält 
man eine Form für sin? a sec? ö, sec? ö, sec* y, darin reduziert sich durch einige 
Umformungen der Koeffizient von tang? @ auf sin? 2 %, der Koeffizient von tang @ 
auf — 2 (v, sin t, — v, sin t,) sin? und endlich -das von @ freie Glied auf 
(v, sin ty — vg sin t,)%, so daß man erhält: j 
sin? a sec? 6, sec? 6, sec? go sin? z, sin? zz 
= tang? gp sin? 2 7 -—2 tang g (v, sin t — v4 sin t,) sin 2 7 + (v, sin t — v, sin t,)2; 
die rechte Seite dieses Ausdruckes ist aber ein Quadrat, so daß man die ein- 
fachere Form schreiben kann: 
-+ sin a sec Ö, sec Ö, sec g sin z, sin z, = tang g sin 2 % — (v, sin t, — vg sin t,); . . (32h) 
das doppelte Vorzeichen der Wurzel beweist, daß die Kurve aus einem einzigen 
Zuge besteht, wenn der Azimutunterschied in einen um 180° verschiedenen 
Wert übergeht; läßt man daher a alle Werte von a = 0° bis a = 360° durch- 
laufen, so wird die Doppelseitigkeit von selbst erledigt. 
, Dividiert man endlich die beiden Beziehungen (32d) und (32f), so erhält 
man als Gleichung der Linie gleichen Azimutunterschiedes die folgende Beziehung 
in gewöhnlichen geographischen Koordinaten: 
— sec g@ [tang g sin (t, — t,) — (tang 6, sin t, — tang 6, sin t,)] 
" tang? gp cos (t, — t,) — tang @ (tang 6, cos tg} tang d, cos t,) + (tang 6, tang 6, -+- sin t, sin tg) 
_ secg(btangg—c) __ bsin gg — c cos ; 
dtang! g — etangy-+f dsin? gp—e sin g cos wg + $ cos? g’ 
wobei. 
b= sin (6 — t,) =8in2 % 
d = cos (t — ti) = cos 2 n 
c=tang 6, sin t, — tang d, sin t, = v, sin ty — Yg sin t, a 
= v, sin (t + 7) — v, sin (t — N) = sin t cos 7 (vy, — Va) + cos t sin % (Y, -- vo) 
= tang 6, cos t, + tang d, cos tı = v, COS ty -+ Va COS £ 
= Y, COS (t + %) + vg COS (t — %) — cos t cos n (Y, + va) — sin t sin n (Y, — va) 
— tang 6, tang d, + sin t, sin ta = v, v2 + sin t, sin t, ; 
= % + 4c082%t— 4 6082 7 = v; Ya + sin? £ — sin? n = vı va + cos? 7 — cos? t ) 
Aus’ diesen Beziehungen ergibt sich insbesondere, daß für a = 0° oder 
180° die Kurve durch den gleich Null gesetzten Zähler dargestellt wird: 
bsing-—ecospg= 0 
© __v, sin (t + ») — va sin (t — m) ; n 
lang ps . 4 734) 
Diese Gleichung wird erfüllt für die Wertepaare 8 
= -+6,, t=-+n oder pp = — d,, t=180° An 
P= 6, t= —n oder = — 0a, = 180° — m. 
Die Kurve geht also durch die Zenitalpunkte der’ beiden Gestirne und 
deren Gegenpunkte; sie ist nichts anderes als der schon erkannte Großkreis durch 
die Gestirnsörter (siehe 5). Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Äquator 
wird erhalten, wenn man den Zähler von (34) gleich Null setzt, das gibt für 
den Stundenkreis t’ die Beziehung 
‚tang 6, __  _ tang d, 
sin (’— 7”) sin (Y +7) 
Ann. d. Hydr. naw. 1917. Heft UNMT.