Immler, W.: Die Linien gleicher Azimutdifferenz und das Pothenotsche Problem auf der Kugel, 279
also 9 = 90° —w, so ist eine Überführung in die Mercatorfunktion gegeben
durch die Beziehung
90° — w\!
® = In tang (450 + al )
a ;
eP —tang (450 + 9 = cotg 4 w
ebenso e”7P — tang 4 w;
nun ist aber nach (24):
5 Z2tang4w 2 2
Sin Wr HRS ER ———
1-+tang?iw cotg}w-+tang } w eP Le @
oder cosec w =} (e® + e7®) = Cof ®;
nun ist aus (21):
cosec w == Cof $ = Col (&’+4d)
und .
Bid
Da die Mercatorkarte gleichfalls winkeltreu ist, müssen sich dieselben
Winkeleigenschaften, die sich in der stereographischen Projektion ergeben, hier
wiederholen,
V. Fall a = 90°.
Herr Dr. A. Wedemeyer erwähnt in den Annalen der Hydrographie 1910,
daß in gnomonischer Projektion auf die Tangentialebene, die in unserem Falle
durch den Punkt S,, geht, die Kurve für den Fall a = 90° in eine Hyperbel
übergeht; diese bekommt, wenn man setzt: ; .
e X=TC0S& y=reing£,
die Gleichung: „
La
cotg?1d—1 L’— tang?41d ;
Es sei ferner erwähnt, daß die gnomonische Projektion der Kurve des
Azimutunterschiedes a — 90° auf -die Tangentialebene im Mittel der
Distanz der beiden Gestirne durch eine Transformation
cos w = sin u cos 7
cosu= sin wcos5$ |.
ferner tang u=r | x 4
und Rz
y=rsin”
übergeht in die Form einer Ellipse
x? (cotg2 1 d — 1) -+y?cotg21d=1 . . . „+. (30b)
In jeder gnomonischen Projektion geht nun die Abbildung eines größten
Kreises über .in eine gerade Linie, daher läßt sich die Aufgabe, aus Azimutunterschied
a und Zeit t die Breite zu berechnen, auf die Form zurückführen,
den Schnitt der Kurve (23) mit einer geraden Linie zu bestimmen. ‚Setzt man
in Gleichung (15d) die Transformation (22) mit cotg w = x ein, so wird
cotg (t + 9) sin (0 — &)r = sin ? — cos v cos (0 — $)T,
setzt man auch hier wieder rcos£&=x, r sin £= v, so geht diese Gleichung über
in kartesischen Koordinaten zu
x [cotg v cos 0 + cotg (t + &) cosee v sin g] + y [cotg v sin g — cotg (t -| 3) cosec v cos vo] = 1;
das erhält die Form
X Yo
a
wohei
= == cotg v cosee y sin (y + 0)
= — cotg v cosec y cos ({y | so
fang y = cos v tang (t + 9)
X
) Siehe u. a. Funktionentafeln von E, Jahnke, 1890, 14. Hyperbelamplitude.
