120 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1916.
erfüllt ist, alle daher rühren, daß die Werte von a@G mit Fehlern behaftet sind,
während die Werte von v fehlerfrei sind. Wir setzen also v=v', aG= a + 4aG,
wo v’' und a G die richtigen Werte und 4a«G den Fehler von « G bedeuten. Die
mittleren Fehler von «GG und v sind:
hau] 30e
n n
ınd
es
151
+0.
Rn
Um a, und A, zu bestimmen, haben wir dann nach der Methode der
kleinsten Quadrate den Ansatz:
(2) Z(@«G— a, v— Ai) = Min.
machen. Hieraus erhalten wir zunächst
Sk z@G— av A = 2(2aG—a, Zv— nA) =
Ay = aG—a V.
Diesen Wert von A, führen wir in (12) ein und setzen
vY=v+x, aG = aG+y.-Zur
Bestimmung von a, erhalten wir dann die Gleichung
SZ (y— a, x)? = Min.
woraus sich
oder
(13
_ Sxy
= x
ergibt. Der Richtungskoeffizient a, der Geraden (11) ist also mit dem Regressionskoeffizienten
b, identisch (7). Die erste Regressionslinie, die mit Hilfe der
Mittelwerte von xG für verschiedene Werte von v bestimmt wurde, stellt also
den wahrscheinlichsten linearen Zusammenhang zwischen v und aG
dar, unter der Voraussetzung, daß die Werte von v alle fehlerfrei sind.
[n diesem Fall hat die zweite Regressionslinie keine physikalische Bedeutung.
Nehmen wir wieder an, daß «G eine lineare Funktion von v ist:
(15) aG = a, V-} Az
und setzen wir jetzt voraus, daß die Werte von aG fehlerfrei sind:
aG= a7, Y= V+4Av
Dann ıst:
| n fi
Nach der Methode der kleinsten Quadrate müssen dann a, und A, aus der
Gleichung
(16)
2
S(r—-LaG-+- A) = Min.
8, ag
bestimmt werden. Wir finden:
(17
Ay= eG —ar
(18)
_ Sy?
Wa
Der Richtungskoeffizient a, der Geraden (15) ist also umgekehrt proportional
dem Regressionskoeffizienten b, (8). Wenn wir uns an die Definition des
letzten erinnern, so sehen wir, daß die zweite Regressionslinie mit der Geraden (15)
zusammenfällt, sie stellt also den wahrscheinlichsten linearen Funktionenzusammenhang
zwischen v und aG dar unter der Voraussetzung, daß
die Werte von aG alle fehlerfrei sind.
Im allgemeinen Fall sind aber sowohl aG als auch v mit Fehlern behaftet:
ali—aGY LAG vy=— VW 4LAr
