Baihe; J:r Zur Geschichte‘ der Tafeln’ des Meridiönalteile. 
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er sich die Aufgabe stellte, auf der Oberfläche eines beliebigen Rotationskörpers 
die Linie zu beschreiben, welche alle Meridiane unter einem gegebenen Winkel 
schneidet, Er denkt sich von jedem Punkte der gesuchten Kurve, einer Loxodrome, 
auf die Äquatorebene die Senkrechte gefällt, stellt also die orthographische Projektion 
der Loxodrome her. Die Koordinaten, durch welche er diese Projektion der ge- 
suchten „Kurve bestimmt, sind. die. Entfernung jedes. ‚Punktes der Projektion vom 
Mittelpunkt des Äquators und der zugehörige Bogen des Äquators, vom Schnittpunkt 
der Loxodrome an gerechnet. Die, erste: Koordinate stellt offenbar den Radius des 
Parallelkreises des betreffenden‘ Loxodromenpunktes : dar, die zweite Koordinate 
die zugehörige Länge. Walz stellt eine Differentialgleichung auf zwischen diesen 
beiden Koordinaten und erhält durch Integration.die zweite als Funktion der ersten, 
also die Länge des Löxodromenpurnktes als Funktion ‚des Parallelkreisradius. Bei 
der Loxodrome von 45° würde diese Länge die vergrößerte ‘Breite darstellen... Als 
Beispiele für seine Methode leitet er die Formeln für die Kugel und das Rotations- 
ellipsoid ab. Weil er keine Tafel der. Meridionalteile berechnet hat, möge diese kurze 
Andeutung über seine Arbeit genügen, = 
15. Die Maeclaurihsche‘ Formel (1742). 
Während Murdoch- und Walz die vergrößerte‘ Breite auf dem“ Sphäroide 
als Funktion des Parallelkreisradius der wahren Breite darstellten, entwickelte im 
folgenden. Jahre Colin.Maclaurin in einem größeren. mäthematischen Werke*®”) 
eine Formel für die Berechnung der Meridiönalteile durch die Breite, selbst. Er 
erhält das Element der vergrößerten Breite, indem er, ebenso wie Murdoch, das 
elliptische Bogenelement: mit. dem ‚Verhältnis des Aquatorradius zum Parallelkreis- 
radius der Breite multipliziert, dann aber sowohl das Bogenelement als auch den 
Parallelkreisradius durch den Sinus der Breite ausdrückt. Die Differentialgleichung, 
die er auf diese Weise gewinnt, lautet: . A: 0648 
b? ü b?e2u ; 
N Hier bedeutet £% das Element (Differential) der vergrößerten Breite, b den 
Äquatorradius, c die lineare Exzentrizität, u den Sinus der Breite, multipliziert mit 
dem Äquatorradius, so daß, wenn die Breite mit g bezeichnet wird, u = b-sin q@. 
Für die Kugel ist £&= = und, für das verlängerte Sphäroid:- 
= 2 = blu 4% . bel © n .. 
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Uns interessiert hier nur die Formel für das abgeplattete Sphäroid. Und diese‘ ist 
genau dieselbe, welche A. Germain®) für das Differential der vergrößerten Breite 
entwickelt. Man überzeugt sich leicht davon, wenn man statt u den Sinus selbst 
und statt der linearen .die numerische Exzentrizität einführt. Bei der Integration 
des für z gefundenen Ausdrucks (Gleichung [12]) geht C. Maclaurin einen eigenen 
Weg. Weil er in seiner diesbezüglichen Darlegung die Strecken und Winkelfunktionen 
durch die Buchstaben seiner Figur ausdrückt; sollen im folgenden teilweise andere, 
bequemere . Bezeichnungen. gewählt werden. Die Breite werde mit g ‚bezeichnet. 
Dann führt. er einen neuen Winkel’ein, «a, der durch die Beziehung sin 4. = T sin‘ @ 
bestimmt ist, wo € und b die oben angegebene Bedeutung haben. Er zeigt nun, daß 
„the modulus being b‘“, wie er sich ausdrückt, das erste Glied in dem Ausdruck für %, 
1 
nämlich 52m das Differential (the fluxion) ist von In a und daß das 
a 591 
zweite Glied, nämlich en wenn man es durch N dividiert, das Differential 
von In az Die Integration liefert demgemäß sofort: ; 
ze 1 SHE a 
. tg (45° —.Ig) bb. tz (459 — 40)" "7 7 
112) 
7) A Tredtise 6f Fluxiöns. ‚By Colin Mäclaurin. Edinburgh 1742; "Vol. II“ 'S. 719 bis 721. 
58) Traite des projections. 1866. S. 282.