Bathe, J.: Zur Geschichte der Tafeln der Meridionalteile,
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Durch Integration ergibt sich
2 = — nr + Const.
Für r = AP wird 4 = 0; wenn der Kugelradius AP = 1 angenommen wird, muß die:
Integrationskonstante gleich Null gesetzt werden. Also ist
A = —Inr oder A= ae
Nun ist in der oben genannten Projektion, wenn der Kugelradius = 1 und die
dem Radiusvektor r entsprechende Breite mit @ bezeichnet wird (Fig. 5),
r.= tg (45°— 1.g) und darum
1
A = 1 WS = In tg (459° L 411g). . 20.0.0
A ist aber der Längenunterschied, der bei der Loxodrome von 45° zu der Breite @-
gehört, gerechnet vom Schnittpunkt der Loxodrome mit dem Äquator, und darum
die der Breite g entsprechende vergrößerte Breite.
in der vorstehenden Darlegung ist die Loxodrome von 45° sofort zugrunde
gelegt; darum wurde die vergrößerte Breite selbst erhalten. Halley geht von einer
beliebigen Loxodrome aus und erhält darum zunächst nur das Verhältnis der zu ver-
schiedenen Breiten gehörigen vergrößerten Breiten zueinander. Der Längenunter-
schied, der bei einer beliebigen Loxodrome einem bestimmten Breitenunterschied.
entspricht, ist gleich dem vergrößerten Breitenunterschied, multipliziert mit der
Tangente des Kurswinkels. Wenn der Breitenunterschied g,—g, und 5 der Kurs-
winkel ist, so ist
—_ tg_(45° — } 1)
As en as 1) ; HE wm UM
Halley zieht (S. 206) diesen Faktor zu der Basis des Logarithmensystems.
und sagt, daß jedes beliebige Logarithmensystem, das Napiersche, Briggsche oder
ein anderes, in den Logarithmen der Tangenten die Längenunterschiede liefere für
eine bestimmte Loxodrome. In der Tat, wenn
© 1 -
ig =n; Ks = a gesetzt wird, so ist A= n.In a; ee = a; her = a
Also ist 4 gleich dem Logarithmus von & zur Basis Ve. |
Halley stellt ferner die Forderung, daß die Logarithmen der Tangenten den
Längenunterschied in Minuten angeben, und will dann den Kurswinkel bestimmen,
für welchen die Logarithmen des jeweiligen Systems dieses leisten. Er findet (S. 207),
daß die Napierschen Logarithmen der Tangenten den Längenunterschied in Minuten.
angeben für die Loxodrome von 71° 1’ 42”, die Briggschen Logarithmen für die:
Loxodrome von 51° 38’ 9”, Er fährt dann fort (S. 207): „But if a Table of logarithm
Tangents be made by Extraction of the Root of the infiniteth Power, whose Index
is the Length of the Arch you put for Unity (as for Minutes the 0.0002908882 th etc..
Power), which we will call a; such a Scale of Tangents, shall be the true meridian
Line or Sum of all the Secants taken infinitely many.“ In unserer Ausdrucksweise:
ist auch dieser Gedanke sehr einfach und klar. Wenn der Kugelradius = 1 wird,
ist A durch die Formel
) 1
SS
in Teilen des Radius ausgedrückt. Nun ist die Größe einer Minute in solchen.
= 0.0002908882,.. Man erhält also die vergrößerte Breite in Minuten, wenn man
In GER ZI durch diese Zahl dividiert. Gebraucht man statt der Napierschen.
die Briggschen Logarithmen, so muß man diese natürlich durch
0.0002908882 ‚,..
2.302885 Lv. 0.0001263311.....
dividieren.
In seinen weiteren Ausführungen (S. 208 und 209) gibt Halley verschiedene-
Reihenentwicklungen für die Berechnung der Meridionalteile, indem er von der
bekannten Reihe
In (1-L xy) —
vr
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