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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, November 1915. 
11. Entwicklung der exakten Formel durch Edmund Halley (1696). 
Der Beweis, den Gregory als erster für den Bondschen Satz gab, dessen 
Gedankengang oben kurz dargelegt wurde, leidet in der Ausführung im einzelnen 
sehr an Unübersichtlichkeit. Ungleich klarer ist der Beweis, welchen Edmund 
Halley in seiner schon mehrfach erwähnten Abhandlung in den Londoner Philo- 
sophical Transactions von 1696 auf einer ganz neuen Grundlage aufbaute; auf diesen 
ist man später in der nautischen Literatur immer wieder zurückgekommen. Auf ihn 
soll darum hier näher eingegangen werden. 
E. Halley spricht (S. 204) den Satz in folgender Form aus: „The meridian 
Line is a Scale of logarithmick Tangents of the half Complements of the Latitudes.‘“ 
Er benutzt zum Beweise die stereographische Projektion und schickt (S. 204 
und 205) folgende Sätze voraus: . 
„1. In der stereographischen Projektion der Kugel auf die Ebene des Äquators 
werden die Entfernungen vom Mittelpunkte, welcher den Pol darstellt, ausgedrückt 
durch die Tangenten von der Hälfte dieser Entfernungen, d. h. von der Hälfte der 
Komplemente der Breiten. 
2. In der stereographischen Projektion sind die Winkel, unter welchen die 
Linien einander schneiden, stets gleich den sphärischen Winkeln, welche sie darstellen. 
3. Auf der Kugel bilden die Loxodromen mit jedem Meridian den gleichen 
Winkel, und nach dem vorhergehenden Satze müssen sie ebenso gleiche Winkel 
bilden mit den Meridianen in der stereographischen Projektion auf die Ebene des 
Äquators: Sie sind daher in dieser Projektion Proportionalspiralen (= logarithmische 
Spiralen) um den Pol. 
4. Bei der Proportionalspirale ist es eine bekannte Eigenschaft, daß (Fig. 4) 
die Winkel APc oder die Bogen AC Exponenten der Verhältnisse von AP zu 
ecP sind.“ 
Ps 
Fig, 5, 
Für den zweiten und vierten Satz gibt Halley einen besonderen Beweis. 
Er fährt dann (S. 206) fort: „Aus diesen Sätzen ergibt sich sehr klar der Beweis für 
unsere Behauptung. Denn nach dem ersten sind PA, Pb, Pc die Tangenten der halben 
Breitenkomplemente in der stereographischen Projektion. Und nach dem letzten 
sind die Längendifferenzen, oder die Winkel am Pole zwischen ihnen, Logarithmen 
der Verhältnisse dieser Tangenten zueinander, Aber die nautische Meridianlinie ist 
nichts anderes als eine Tafel der Längen, welche jeder Minute der Breite entsprechen 
auf der Loxodrome, die einen Winkel von 45° mit dem Meridian bildet. Wherefore 
the meridian Line is no other than a Scale of logarithmick Tangents of the half 
Complements of the Latitudes, Quod erat demonstrandum.“ 
Im folgenden soll der Gedankengang Halleys in der uns gewohnten Form 
dargelegt werden. In der stereographischen Projektion der Kugel auf die Ebene des 
Äquators (Fig. 4) sei P der Pol, ABC der Äquator, PA, PB, PC Meridiane, Abb,c 
die Loxodrome, welche mit den Meridianen den Winkel von 45° bildet. PB und PB, 
seien zwei sehr nahe benachbarte Meridiane. Um P sei mit Pb der Kreis beschrieben, 
der PB, in b, schneidet. X APB werde mit 4 bezeichnet, Pb mit r; dann ist 
X BPB;,=dd, bıb, = — dr, bb, = r.d/. Da X bb,b, = 45° ist, so ist 
TdA tg 450. 97 _qz