Bathe, J.: Zur Geschichte der Tafeln der Meridionalteile.
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der Mercatorkarte richtig einzuteilen. Wie Edm. Halley*) berichtet, war Henry
Bond der erste, der den richtigen mathematischen Ausdruck für die Meridionalteile
aufstellte. In einem Anhang zu Rich. Norwoods „Epitome of Navigation‘“*®)
habe er vor etwa 50 Jahren den Satz ausgesprochen, „that the meridian Line
was analogous to a Scale of logarithmick Tangents of half the Com-
plements of the Latitudes‘“. Der erste, der diesen Satz bewiesen habe, sei James
Gregory gewesen. N
James Gregory“) führt den Beweis durch umständliche geometrische Über-
legungen. Er denkt sich den zu vergrößernden Meridianbogen als Stück eines Kreis-
bogens abgetragen und in jedem Punkte desselben auf der Ebene des Kreises die
Senkrechte errichtet, deren Länge gleich der Sekante der Breite dieses Punktes ist.
Auf diese Weise erhält er ein Stück einer Zylinderfläche, dessen Größe gleich der
unendlichen Summe der Produkte ist, die aus den Breitenelementen und den zu-
gehörigen Sekanten der Breite gebildet werden, das also, nach unserer Ausdrucksweise,
gleich
/ sec dp
ist. Er zeigt, daß die so gebildeten Flächenstücke, die zwei verschiedenen Breiten
entsprechen, sich wie die Logarithmen der Differenz der Sekante und der Tangente
für die beiden Breiten verhalten. „Linea meridiana planisphaerii nautici est scala
logarithmorum excessuum, quibus secantes latitudinum superant earundem tan-
gentes, posito radio loco unitatis.‘““ (S. 17.) Er benutzt dann die trigonometrische
Umformung:
sec p —1g y = tg (45° — 4.g),
um zum Schlusse (S. 19) zu sagen: „Ex praedictis manifeste patet lineam meridianam
planisphaerii nautici esse scalam tangentium artificialium arcuum, qui sunt sSemisses
complementorum latitudinum, posito radio loco unitatis.‘“ Gegen Ende seiner
Beweisführung (S. 17) setzt Gregory merkwürdigerweise bei Herleitung derselben
Formel nacheinander zwei verschiedene Strecken = 1 und erhält als Folgerung,
daß das Stück der Zylinderfläche gleich dem doppelten Logarithmus der Differenz
von Sekante und Tangente ist. Weil er nachher nur das Verhältnis der Meridional-
teile für verschiedene Breiten bildet, fällt dieser Faktor 2 in der Schlußformel
wieder aus. .
Wenn man nur den Radius = 1 setzt, so erhält man für die der Breite @
entsprechende vergrößerte Breite, M. P., die ja gleich der Größe der Zylinder-
fläche ist°9),
M. P.= — In (sec g — tgg) =—1ntg (45° — 1g) = In N OEEDERTTE = Intg 45°+4 @). (2)
Mit derselben Aufgabe, für die unendliche Sekantensumme einen präzisen
mathematischen Ausdruck zu finden, beschäftigte sich John Wallis in einem
Briefe an Mr. Richard Norris®), Wenn wir unsere heutige Schreibweise benutzen,
so erhält er aus der identischen Gleichung
sec? dd = ep = 7 = 1--sin? g +sin* g +...
durch Integration nach sin @ die Gleichung .
fsec g d sin g = sin LE
Diese unendliche Reihe stellt in der Tat die vergrößerte Breite dar; denn es ist
fsecr 9 d sing = f Adna = fr dy= fe de. ; (4)
47) An easie Demonstration of the Analogy of the logarithmick Tangents to the meridian Line
or Sum of the Secants: with various Methods for computing the same to the utmost Exactness, by Kdm.
Halley. Philosophical Transactions, London, Numb. 219 (a. 1696), S. 202, (Universitäts- Bibliothek
Göttingen.)
4) Leider war dieses Werk Rich. Norwoods nicht erreichbar. .
49) Exercitationes geometricae a Jacobo Gregorio. Londini 1668. S. 14 bis 19, (Universitäts-
Bibliothek Göttingen.)
50) Wir bezeichnen mit In die natürlichen Logarithmen, mit log die dekadischen.
51) Philos. Transaet. London. Vol. XV. Numb. 176 (a. 1686). S. 1193 ff.
