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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1912, 
Faßt man das Wesen der Hyperbelfunktionen analytisch, so ist das Argument 
derselben der Doppelsektor 2F =— g, und wie man beim Kreise x? + y* = 1, 
X==C0OS@, Y = Sing setzen kann, so sei ganz analog für die gleichseitige 
Hyperbel x? — y*? = 1: 
x = Cofg 
Y = Sing 
so daß ihre Gleichung übergeht in 
Co? p— Sing = 1 . .. (VI) 
Da x = Cof g nie kleiner als 1, aber über alle Maßen groß werden kann, 
ebenso y = Sing zwischen 0 und co schwankt, so unterscheiden sich der hyper- 
bolische Sinus und Kosinus wesentlich von ihren gleichnamigen Kreisfunktionen, 
Die Hyperbelgleichung x? — y* = 1 wird aber auch befriedigt durch die 
Substitutionen 
1 
Sa z) y = tang %Z, 
so daß man den hyperbolischen Kosinus ohne weiteres gleich einem reziproken 
zyklischen Kosinus, den hyperbolischen Sinus aber einer trigonometrischen 
Tangente gleichsetzen kann. Aus 
1 En . 
Col pp = “x und Sing = tang%/ 
Folgt, wenn man die Quotienten aus dem hyperbolischen Sinus und Kosinus 
gleich der hyperbolischen Tangens setzt: 
Tangp = sing. . 00.0... 20.0040. (VIT) 
Wir bedürfen für die Transformation des Integrals (IV) auf hyperbolische 
Funktionen noch der Kenntnis des Differentials von Co[ g. Um dieses möglichst 
einfach zu erhalten, gehen wir vom Moivreschen Satz aus. Es ist bekanntlich: 
e7iF — cosgp—ising = cos g -4- + sin a 
(ei) = cos ip sinig = ef 
(e7 ir) = cosig—-;-sinig = e7”f 
Durch Multiplikation von (VIII) und (IX) folgt 
ef.e”? = e°=1= costigp — (7 sinig)) 
und dies mit (VI) verglichen, 
cosip = Cofg 
einig = Cine; 
(VID 
(1X) 
also ist auch 
und hieraus 
folglich 
e* = Cojgy + Eine 
e7* = Col — Sing 
ee” Le7? - eP—_e7? 
u — = Öof gi 57 — Sing 
Soigp _ „A (7 te) — 
de de 9 
Sin oe. 
(X; 
Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nun in das Integral | SE Hyperbel- 
funktionen einführen, „SD 
Wir setzen also: 
- 1 
Con = —— 
cos 
=. sin 
Sinu-du = AP ag 
DORX- ID