y. Schaper, H.: Über die Eigenberechnung der Monddistanzen usw. 671
noch der Umstand, daß man, der Einrichtung der meisten nautischen Tafeln
entsprechend, den Hilfswinkel x auf ganze Zeitsekunden, d. h. auf viertel Bogen-
minuten, abzurunden pflegt, wodurch die Unsicherheit des Wertes D noch ver-
größert wird. — Es sei noch erwähnt, daß die Bestimmung von x nach (1) stets
dann unmöglich wird (wie aus (2) zu ersehen ist), wenn D nicht zwischen den
Werten |öC— d©| und 180° — |öC— dO| liegt (durch die senkrechten Striche ist
der absolute Betrag bezeichnet), ein Fall, der allerdings nur sehr selten ein-
treten wird.
Zum Ersatz von (1) und (2) eignen sich die Napierschen Glei-
ehungen, dieselben Formeln also, deren man sich in der reinen Trigonometrie
zur Berechnung der übrigen Stücke eines sphärischen Dreiecks aus zwei Seiten
und dem eingeschlossenen Winkel bedient. Diese Formeln erfordern zwar etwas
mehr Rechenarbeit als (1) und (2), haben aber den für uns wesentlichen Vorteil,
in allen Fällen‘ hinreichend scharfe Resultate zu liefern (vorausgesetzt, daß man
die Leistungsfähigkeit der fünfstelligen Tafeln voll ausnutzt); außerdem gestatten
sie eine wertvolle Kontrolle, da zur Berechnung der dritten Seite zwei von-
einander unabhängige Formeln zur Verfügung stehen. . |
Um diese Behauptungen zu begründen, schreiben wir die für uns in Betracht
kommenden Gleichungen in der üblichen Bezeichnungsweise des sphärischen
Dreiecks hin: - ;
+8 y a-+b a—b
tang = cotg 5: SEC zz + COS >
tang 4 £ = cotg Z..cosee AP ‚sin 45?
tang > = tang ab ‚sin nt . cosoo “4 &
tang S- > tang AB. cos ADB ige AA,
Der entscheidende Vorzug dieser Formeln besteht darin, daß alle gesuchten
Winkel, insbesondere also auch > durch die Funktion tang bestimmt werden.
Nun beträgt der kleinste Minutenunterschied!) von log tang.z (bei z = 45°)
25 Einheiten der fünften Dezimale; hieraus folgt, daß > stets bis auf halbe
Zehntelminuten, und demnach € selbst bis. auf Zehntelminuten sicher bestimmt
sein wird, falls man nur den log tang 5 auf fünf Stellen genau ermitteln kann.
Daß aber diese letztere Voraussetzung ganz oder fast ganz stets zutrifft, wird
die folgende Überlegung zeigen.
Zunächst erkennt man, daß es stets möglich sein wird, jeden der auf der
rechten Seite von: (3) und (4) vorkommenden Funktionslogarithmen auf fünf
Stellen genau zu bestimmen. Man muß allerdings, um dieses Ziel zu erreichen,
Vorsicht walten lassen: nämlich erstens in den Winkeln X, ab und ah
nötigenfalls auch halbe Zehntelminuten berücksichtigen und zweitens das Ein-
schalten der rasch veränderlichen Funktionslogarithmen sehr kleiner oder sehr
großer Winkel mit größter Sorgfalt vornehmen. Zur Erläuterung dieses zweiten
Punktes werden folgende Bemerkungen genügen.?) Um den log sin eines Winkels
unter 0° 30’ genau zu bestimmen, benutzt man den Satz, daß die Sinus kleiner
Winkel den Winkeln selbst proportional sind; man setzt also beispielsweise
log sin 0° 13.45’ = log 13.45 + Jogsin 1’.
Auf diese Weise ist in dem unten folgenden Beispiel der log sec 90° 13.45’ (oder
colog sin 0° 13.45’) gewonnen worden. — Für kleine Winkel über 0° 30’ würde
6)
1) Hicrunter verstehe ich den Wert log tang (z 1’) — log tang z. Vgl. O. Fulst, zur Höhen-
berechnung, »Ann, d. Hydr, usw.« 1900, S. 322.
2) Anweisungen zum Rechnen mit kleinen Winkeln findet man in vielen Tafeln und Lehr-
büchern, z. B. F. G. Gauss, fünfstellige Tafeln, Halle 1888; E. Hammer, Lehrbuch der ebenen und
sphärischen Trigonometrie. Stuttgart 1885,
