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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1910, 
Gleichung (9) ist ebenfalls eine Gleichung 4. Grades und läßt sich leichter 
auflösen als (3), Die Koeffizienten könnten unter Einführung von Hilfs- 
winkeln für bequeme logarithmische Rechnung umgeformt werden, worauf ich 
hier nicht eingehe. Diese Gleichung muß im wesentlichen mit der Rümkerschen 
Schlußgleichung übereinstimmen, wenn darin noch als Hilfsgröße der Bogen des 
Hauptkreises zwischen den beiden Gestirnsörtern eingeführt wird. Wie die Ver- 
gleichung der Formeln zeigt, wird aber durch Einführung dieses Bogens die 
Rechnung nur erschwert. Die Ableitung der Formel (3) ist eleganter und leichter 
als die der Formel (9). Für beide Formeln hat man Näherungswerte der Un- 
bekannten zur Hand, denn man kennt die Koordinaten des Beobachtungsortes 
näherungsweise. Die Differenz u, — ug der Rümker-Grunertschen Gleichung ist 
nicht identisch mit der Differenz u, — u, der Güntherschen Bezeichnung; die 
Lösung ist daher auch keine indirekte, da man die Stundenwinkel durch eine 
einfache Addition findet, Die hierauf bezüglichen Bemerkungen im Archiv der 
Seewarte, 1. c. S. 7, 9 und 10 sind hinfällig. Rümker und Grunert haben gerade 
die Unbekannte gewählt, deren Ermittlung am einfachsten ist, sowohl in mathe- 
matischer als auch in praktischer Beziehung, An Eleganz steht die auf S. 18 
gegebene kurze Ableitung für die Unbekannte @, in der keine Rechenoperation 
ausgelassen wurde, sicherlich nicht hinter der Güntherschen zurück, bei der 
allein bis zur Aufstellung der Sylvesterschen Determinante ebensoviel Arbeit ge- 
leistet werden muß. Welche Mühe die Auswertung einer vierreihigen Deter- 
minante verursacht, lehrt am deutlichsten die Günthersche Schlußgleichung! 
Ich erwähne noch, daß die Aufgabe der Ortsbestimmung aus mehr als zwei 
Azimuten bereits von Herrn Oberst v. Kobbe gelöst ist.) Für die praktische 
Beobachtung genügt auch in diesem Falle ein Beobachter, nicht zwei, wie Herr 
Günther annimmt, 
Für bequemen praktischen Gebrauch läßt sich Gleichung (8a) auf 
die Form bringen: 
asin?s-Ad=nsin(s—g). ..... 2044 (10) 
die auch eine konstruktive Lösung zuläßt. Wie bekannt, überführt Gauß die 
Gleichung 8, Grades zur Bestimmung des Radius vector eines Planeten aus drei 
Beobachtungen in die Form: 
m sin? z = sin (z — q). 
Wie solche Gleichungen rechnerisch und konstruktiv gelöst werden, selbst 
wenn für die Wurzeln gar keine Näherungswerte zur Hand sind, lehren aus- 
führlich die astronomischen Lehrbücher. Ich habe bei zahlreichen Planetenbahn- 
bestimmungen die Wurzeln der Gleichung am schnellsten und bequemsten durch 
Versuche ermittelt, wozu eine vierstellige Logarithmentafel völlig ausreicht. 
Damit ist auch für die direkte Bestimmung der Koordinaten des Beobachtungs- 
ortes ein gangbarer Weg gefunden und »das Pothenotsche Problem auf der 
Kugel in gewisser Weise zum Abschluß gebracht«. 
Den »gefährlichen Ort« beim Rückwärtseinschneiden auf der Kugel be- 
handelt Herr S. Finsterwalder in den Sitzungsberichten d. math.-phys. Kl. d. 
K. B. Akad. d. Wiss. XXXV. Bd., München 1905, S. 3 bis 11. Wie aus der Unter- 
suchung über die Azimutgleichen hervorgeht, darf keines der beobachteten 
Azimute gleich oder nahezu gleich der Poldistanz des Gestirns sein, da kleine 
Fehler im Azimut dann große Fehler im Beobachtungsorte zur Folge haben. Die 
elementare Behandlung führt auch hier schnell zum Ziele und liefert die einzige 
Bedingung A = 90° — 6 in einfacher und anschaulicher Weise, ein Ergebnis, das 
trotz Anwendung scharfsinniger und schwieriger mathematischer Deduktionen 
bislang nicht gefunden worden ist. 
Nachtrag. 
Nach den Angaben von S. Günther ist Grunert als erster Bearbeiter des 
Pothenotschen Problems auf der Kugel anzusehen, da die geschichtlichen An- 
gaben von Weyer nicht den Tatsachen entsprechen sollen. Weyer erwähnt aber 
«Ann, d. Hydr. usıy.« 1910, S. 288ff.