Sandström, J. W.: Über die Bewegung der Flüssigkeiten. 243 
Wenn man zu diesen Strichen Tangentenkurven zieht, was der Leser mit einem 
Bleistift leicht selbst ausführen kann, bekommt man die Stromlinien der Fig, 1, 
Die Isogonen haben, wie man aus diesem Beispiel sieht, einen weit ein- 
facheren Verlauf als die Stromlinien. Darin liegt der wesentlichste Vorteil dieser 
Isogonenmethode für die Konstruktion der Stromlinien. 
Um nun alle möglichen Systeme von Stromlinien zu zeichnen, braucht 
man nur die Lage, Krümmung und Entfernung der Isögonen sowie die Richtung 
ler Geschwindigkeiten in verschiedener Weise zu verändern und die ent- 
sprechenden Stromliniensysteme zu konstruieren. Unsere Aufgabe läßt sich dem- 
nach auf rein graphischem Wege lösen. 
IT. 
Wie bei anderen mechanischen Problemen gibt es auch hier eine analytische 
Analogie, durch die alle die Vorgänge, welche mit unserem Probleme in Zu- 
sammenhang stehen, in außerordentlich konziser Weise sich in eine einzige 
Formel zusammenfassen lassen, Die Lösung unserer Aufgabe kann somit auch 
auf die Besprechung dieser Formel zurückgeführt werden, 
Diese Formel lautet: 
= te ‚. m 
sie {st also eine Differentialgleichung, Sie kann durch eine Art Isogonenmethode 
graphisch gelöst werden, indem man der Größe SZ verschiedene konstante Werte 
Ay, Aa + + «. gibt und diese in Gleichung (1) einsetzt, Die dabei entstandenen 
Beziehungen f(xy}=— 8,, f({(xy)= a, .... werden nachher aufgezeichnet, und 
die so entstandenen Linien mit kleinen Strichen versehen, welche die Richtungen 
Az =,, et == 82... darstellen. Schließlich werden die Tangentenkurven dieser 
Striche gezogen, und diese stellen dann infolge ihrer Konstruktionsweise die 
graphische Lösung der Differentialgleichung (1} dar. 
Als Beispiel wähle ich die Gleichung 
dy _ Y—X 
dx 7+X 
in der gesetzt wird 2 = 0, bzw. +1, co, — 1. Dabei entstehen die Beziehungen 
y=x, bzw. x=0 y=-—x und y=0, Diese entsprechen bekanntlich vier 
Geraden, und diese Geraden sind in Fig. 2 dargestellt. Die Gerade y = x, welche 
et = 0 entspricht, wird mit horizontalen Strichen versehen; die y-Achse, x == 0, 
welche Et = + 1 entspricht, wird mit um 45° geneigten Strichen versehen, u. s. f, 
Schließlich werden die Tangentenkurven zu den Strichen gezogen, wobei die 
Fig. 1 entsteht, Diese Figur ist also als die graphische Lösung der Gleichung (2) 
anzusehen. 
Die Ähnlichkeit dieser Figur mit einem gewöhnlichen Wasserwirbel schien 
mir sehr bemerkenswert, doch meinte ich, daß die Stromlinien allzu schnell gegen 
den Mittelpunkt zusammenliefen, und ich wollte deshalb die Gleichung (2) etwas 
rerallgemeinern, um jede gewünschte Neigung gegen den Radius erhalten zu 
können, Anstatt (2) schrieb ich deshalb: 
dy _ y—ax a 
dx  ayea 0 ‚.Ä0.u0 © 
Die Lösungen dieser Gleichung wurden dann für verschiedene Werte von & 
konstruiert, und schon beim Zeichnen der Striche an den Isogonen ergab sich, 
daß a einfach der trigonometrischen Tangente des Winkels gleich ist, den die 
Stromlinien mit dem Radius bilden.!) Dieser Winkel wurde nun gleich 0° bzw. 
7 Dies ergibt sich auch ohne weiteres durch Transformation auf rechtwinklige Koordinaten 
vezazene GHeichung (3} auf ein Shark ins 8! 9, Die Gleichung {3) erhält dann die Form 
r