Schoy, C.: Die Douwes’sche Aufgabe in geometrischer Behandlung, 559 
trachtet werden, ebenso in K,4c, S, %. K, und K, liegen in zwei Ebenen E, 
und E, (Horizont und Aquator), die den Winkel 90° -— g@ miteinander bilden, 
wenn @& die in der Douwesschen Aufgabe gesuchte Polhöhe ist. Die geo- 
metrische Lösung läuft somit auf die Ermittlung des Winkels dieser 
zwei Ebenen hinaus. Dazu bedarf es der Kenntnis der Lage je dreier ent- 
sprechender Punkte in E, und E,. Zunächst lassen sich die senkrechten Abstände 
der X, und X, von E, leicht angeben, es ist nämlich: 
ZZ", = r.tangö —q-sind ‚cosech' = r.tang & -— sind +Ya*-Fqr 
BY, Z. = v«tangöd5—q-sind ‚cos h” = r.1ang $ — sind «Vb* Eql. 
Wäre nun F im Raume bekannt, so ließe sich damit die Spur S von E, 
auf E, ermitteln, Nun liegt aber F einerseits auf einer zu X', X, senkrechten 
Kreislinie L, deren Mittelpunkt der Fußpunkt £ der zu X, X, gehörigen Dreiecks- 
höhe und deren Halbmesser gleich der Länge dieser Höhe Ff ist, anderseits liegt 
F aber auch auf einer Kugelfläche mit dem Mittelpunkt e und einem Halb- 
messer = der Höhe q des Gnomons, 
l. Für eine rein zeichnerische Lösung unseres Problems nach den 
Methoden der deskriptiven Geometrie wählt man nun am besten die Aufrißebene 
parallel X’, X, und verschiebe dann die Grundrißebene E, um den senkrechten 
Abstand X”, X',, so daß also X, im Aufriß in den Durchschnitt T der zwei 
Ebenen zu liegen kommt, während der Vertikalabstand von X, zu 
ö 2qsind> MM —MW h” + bh 
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wird (Fig, 2, Taf. 19), Die Entfernung der Aufrißebene von X, X, ist beliebig; 
nach ihrer Wahl richten sich die Abstände der Punkte X”,, 3”, und e, von T. 
Wir wollen ferner der Einfachheit halber für Grund- und Aufriß der 2 Sonnen- 
Dositionen die Bezeichnungen beibehalten, welche ihnen in der räumlichen An- 
schauungsfigur 1, Taf. 19, zukommen. ‚Jetzt konstrüiere man zuerst im Aufriß 
das gegebene Dreieck Y,FX,; die durch F zu X, X, geführte Senkrechte V, 
(Schnittpunkt mit X, X, ist f in Fig. 1, Taf. 19) stellt dann die Aufrißspur der 
Kreisebene IL dar, in welcher F liegen muß, Eine Kugel um € als Mittelpunkt 
mit dem gegebenen Halbmesser Fe = q liefert in der Ebene V, eine Kreislinie M, 
welche den Punkt F gleichfalls enthält. Durch Umlegung der Ebene V, um ihre 
Grundrißspur U,, welche senkrecht auf 3”, X”, (Fig. 2, Taf. 19) stehen muß, ergibt 
sich zunächst der Kreis L,, mit dem Mittelpunkt f, und dem Radius f, F, = f, F, 
=f,F, ferner die Kreislinie M, mit d, als Mittelpunkt und d,e, = d,g, =cF=9Qg 
als Halbmesser, L, und M, liefern nun 2 Schnittpunkte: F, und F‘,, denen in 
Grund- und Aufriß die Punkte F, und F', bzw. F, und F’, entsprechen. Damit 
sind aber auch zwei Ebenen im Raume möglich, welche den Punkt F mit dem 
verlangten Abstand q von c enthalten, und ihre Spuren S, und S‘, sind, wie aus 
Fig. 2, Taf, 19, leicht ersichtlich, in der bekannten Weise ermittelt, 
Jetzt besteht keine Schwierigkeit mehr, die Neigungen der 2 Ebenen im 
Raume zu E, oder der dazu parallelen Grundrißebene durch X‘, (Fig. 1, Taf. 19), 
d, h. die geforderten Winkel @, und 6, zu eruieren, Legt man nämlich durch 
X, eine Ebene, senkrecht zur Spur S, so enthält sie ein bei X”, rechtwinkliges 
Dreieck 3, X”, S,, dessen Katheten aber bekannt sind und welches bei X, die 
gesuchte Polhöhe @ enthält, In Fig, 2, Taf. 19, ist dies auf der nach X, ver- 
schobenen Grundrißebene, wodurch jedoch nichts geändert wird, durchgeführt. 
Durch Abtragen von X,“ in den Fußpunkten S, und S’, der von X”, nach den 
Spuren S, und S’, gefällten Lote erhalten wir die zwei rechtwinkligen Dreiecke 
5”, 3,0 und X”, 8,0, und somit die zwei verschiedenen Winkel g, und @, als 
die gesuchten Lösungen der bekanntlich quadratischen Aufgabe, 
2. Für eine analytisch-geometrische Behandlung sei die Kegelspitze & 
Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dessen X- und Y-Achse 
in der Ebene E, (E;, |! E,, siehe Fig. 1, Taf. 19) liegen und dessen Z-Achse mit 
derjenigen des Kegels zusammenfällt. Die X-Achse legt man wohl am beauemsten