Steppes, O.: Über die Lehrmethode in den geometrischen Hilfsfächern der Nautik, 217
Wenn es feststeht, daß aus drei Stücken z. B. aus zwei Seiten und dem ein-
geschlossenen Winkel nur ein, in Form und Inhalt bestimmtes, Dreieck konstruiert
werden kann, daß also bei Wiederholung der Konstruktion immer wieder dasselbe
Dreieck herauskommt, so muß es einem gesunden Hirn klarer als klar werden,
daß alle diese Dreiecke form- und flächengleich, d. h. kongruent sein müssen.«
Dabei ist diese Art der Begründung auch kürzer, als die unglaublich umständlichen
alten Beweise der Kongruenzsätze,
Zum Schluß sei noch an einem Beispiele der Unterschied zwischen dog-
matischer und genetischer Behandlung der Lehrsätze gezeigt, Der Beweis des
Satzes »Im rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe der beiden Kathetenquadrate
gleich dem Quadrate über der Hypotenuse« in der ersteren Art ist dieser: Man
zeichnet die Quadrate ABDE und BCFG über den beiden Katheten und ACHJ
über der Hypotenuse AC. Dann zieht man die Hilfslinien CE, BH, BJ, AF,
Warum dies geschieht, kann der Schüler erst am Schlusse des Beweises einsehen,
Es muß dann auf ziemlich umständliche Weise die Kongruenz der Dreiecke ACE
and ABJ einerseits, ACF und BCH anderseits gezeigt werden, Die Dreiecke
ACE und ACF sind nun, wie man weiter nachweist, die Hälften der Katheten-
quadrate, die Dreiecke ABJ und BCH die Hälften der Rechtecke, in die man
das Hypotenusenquadrat durch Ziehen der Höhe des Dreiecks ABC zerfällt,
Durch Addition ergibt sich endlich die Behauptung, Dieser Beweis ist mit Recht
der Schrecken der Schüler und bietet ein klassisches Muster eines (vom päda-
gogischen Standpunkt aus} schlechten synthetischen Beweises,
Die genetische Herleitung des Satzes wäre etwa die folgende. Als direkte
Anwendung des Ähnlichkeitssatzes »Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei
Winkeln übereinstimmen« ergibt sich bekanntlich der schöne Satz von der
mittleren Proportionale im rechtwinkligen Dreiecke: Jede Kathete ist die mittlere
Proportionale zwischen der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusen-
abschnitt, Bezeichnet man die Hypotenuse mit b, die Katheten mit a, c, die
Hypotenusenabschnitte mit p, 4, dann drückt sich dieser Satz so aus: bıa= a:p
und b:ec= 6:q. Oder auch: a? = bp, c’= bg. Man wird nun dem Schüler
die geometrische Bedeutung dieser letzten zwei Gleichungen klar machen; a* ist
der Inhalt des Quadrats über der Kathete a, bp der Inhalt des Rechtecks aus
b und p, analog für die Gleichung c? = bq. Jene Quadrate sind also inhalts-
gleich mit diesen Rechtecken, Läßt man diese Quadrate und Rechtecke jetzt
auch wirklich zeichnen, dann ergibt sich durch die Anschauung unmittelbar
der Lehrsatz des Pythagoras, der so dem Schüler als etwas Selbstverständliches
erscheint und leicht in Worte gekleidet wird.
Eigentlich ist durch diese Betrachtung die Richtigkeit des Satzes auch
streng erwiesen. Es dürfte sich aber trotzdem empfehlen, den Beweis nach-
träglich an den so gefundenen Satz anzufügen. Dieser Beweis, und das ist der
zweite Vorteil dieses Verfahrens, ergibt sich aber jetzt in der ungezwungensten
Weise, etwa in folgender Form: Nach dem Satze von der mittleren Proportionalen ist
b:ia==a:p, oder a? = bp,
b:e==c:q, oder ce? — bq. _ Addiert:
Le = bp + ba
= bi(p-+q), Da aber p-+q = b ist, folgt: a? 4-0? == 2,
Man urteile selbst, welche von beiden Methoden für den Lernenden an-
regender und bildender ist! Zugleich zeigt dieses Beispiel, daß ich keineswegs
eine einseitig genetisch-heuristische Behandlung des planimetrischen Lehrstoffes
empfehle. Nur tunlichste Auffindung der Lehrsätze auf heuristischem Wege, der
Beweis kann dann nachträglich, wie soeben, in dogmatischer Form dem Satze
angefügt werden, mit dem Unterschiede eben, daB er jetzt dem Schüler nicht
als eine schwer verständliche Aneinanderfügung geheimnisvoller Kunstgriffe er-
scheint, sondern als eine naturgemäße Rekapitulation der vorausgegangenen Über-
legungen in systematischer Zusammenfassung,
Wir behalten uns weitere Ausführungen vor, die mehr die Einzelheiten
der angeschnittenen Fragen betreffen sollen,
