212 Aynalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Mai 1908,
nennt man die dogmatische, auch wohl euklidische, Sie gibt dem Schüler
jeden Lehrsatz der Geometrie in seinem fertigen Wortlaute in die Hand und
zeigt darauf die Richtigkeit des Satzes durch den Beweis. Das Beweisverfahren
ist rein synthetisch, ad. h. der Beweis wird dem Schüler in seinen einzelnen
Schlußfolgerungen, die sich nur auf die Voraussetzung und andere, schon be-
wiesene Sätze stützen, nitgeteilt, bis die letzte Schlußfolgerung die Behauptung
liefert, Die geometrische Aufgabe (Konstruktionsaufgabe) wird zunächst
gelöst, d.h, ihre Konstruktion wird angegeben, Die Richtigkeit der Konstruktion
wird dann durch einen Beweis dargetan. Natürlich können dabei die Lehrsätze
and Aufgaben nicht wahllos aneinander gefügt werden, sondern es muß vor
Einführung eines neuen Satzes öder einer neuen Aufgabe jedesmal möglich sein,
sie aus dem Vorhergehenden zu beweisen. Dieser Gedanke ist für die Reihen-
folge und. Auswahl der einzelnen Sätze maßgebend, Er läßt noch sehr ver-
schiedene Anordnungen des Stoffes zu,
Die zweite, viel jüngere Methode ist die genetische (entwickelnde), Im
Gegensatz zur dogmatischen. Methode, bei der die einzelnen Wahrheiten nur
nach der Möglichkeit ihrer Ableitung voneinander zusammengestellt werden,
fordert sie eine mehr naturgemäße Anordnung. Jede folgende Untersuchung
soll aus der vorhergehenden gleichsam von selbst entstehen, Wichtiger, für
unsern Gegenstand wenigstens, als das allgemeine Prinzip der Anordnung scheint
mir die Behandlung der einzelnen. Lehrsätze zu sein, Die genetische Methode
geht von der Frage aus, unter welchen Bedingungen die Aussage des Lehrsatzes
bestehen könne, und zeigt, daß diese Bedingungen tatsächlich erfüllt sind, !)
Der Beweis wird dem Schüler nicht fertig in die Hand gegeben, sondern er
entsteht vor seinen Augen, Dieses Beweisverfahren nennt man das analytische?)
Hat man den Beweis so aufgefunden und die Schüler auffinden lassen, dann
kann er nachträglich in synthetischer Form wiedergegeben werden, Es leuchtet
ein, daß das synthetische Beweisverfahren die Selbsttätigkeit der Schüler fast
gar nicht anregt, das analytische dagegen in hohem Grade, In der Vorrede zu
seinem »Lehrbuch der Geometrie«*) sagt K. Snell über ersteres: »Die Geistes-
tätigkeit des Schülers bleibt darauf beschränkt, den einzelnen als Kunstgriff dar-
gebotenen Beweis einzusehen und von seiner Haltbarkeit sich zu überzeugen; im
eine produktive Tätigkeit sicht er sich nicht versetzt.« — Die genetische Methode
gibt ferner eine ganz andere Behandlung der geometrischen Aufgabe: sie
bewirkt, daß der Lernende sich die Überlegungen klar macht, die zur Auffindung
der Konstruktion hinführen, und faßt diese Überlegungen in der sog. Analysis
der Aufgabe zusammen. Die Konstruktion selbst ist dann nichts anderes als die
Folge der Analysis, Der Unterschied beider Arten der Darstellung und das Ver-
fahren der genetischen insbesondere sei an einem Beispiel erklärt.
Aufgabe: Um ein gegebenes Dreieck ABC den Kreis zu beschreiben.
1. Dogmatische Methode, — Konstruktion: Errichte die Mittelsenkrechten zu
den Seiten AB und BC des Dreiecks, nenne ihren Schnittpunkt M und schlage
um M den Kreis mit dem Radius MA.
Beweis: Man bezeichne den Mittelpunkt der Seite AB mit D und ziehe
MA, MB, MC. Dann ist AD = BD zufolge der Konstruktion, MD = MD,
XADM= X BDM = 90°, daher / ADM X A BDM, Hieraus folgt, daß AM =BM
ist. Ebenso findet man, daß BM = CM ist, also ist AM = BM = CM der Kreis
um M mit dem Radius MA geht auch durch B und ©. ;
2. Genetische Methode, — Analysis: Ist M der Mittelpunkt des gesuchten
Kreises, so muß M von A, B, © gleich weit entfernt liegen, weil dann MA, MB,
MC Radien des Kreises sind, Nun ist der geometrische Ort für die Punkte, die
von den Endpunkten einer Strecke gleich weit entfernt sind. die Mittelsenkrechte
‘j Genaueres darüber lese man etwa nach in »Wittstein, Die Methode des mathematischen
Unterrichts», Hannover 1890, ;
2) Die Ausdrücke »synthetisch« und sanalytsch« haben hier nichts zu tun mit den Bezeich-
augen »synthetische Geometrie« und »analıtische Gemmetrie«, wornuter man zwei Gebiete. der höheren
Mathematik versteht,
5 1. Auflage, Leipziz 15141, F. A. Brockhaus,
