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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, März 1906,
Entwickelt man die Gleichungen (1), (1a), (1b) nach & so erhält man
für tang & den von Herrn Kapitänleutnant Kurtz gegebenen Ausdruck, Einen
einfacheren und für die weitere Rechnung genügenden Wert erhält man, wenn
man in (1b) & als eine unendlich kleine Größe auffaßt. Setzt man die logarithmischen
Inkremente der Kosinus = &', f’, y', X’, und wählt als Einheit 10’
(da ein kleineres Intervall die logarithmischen Differenzen nicht genau genng
liefert), so wird
& = 10° (0.000000 — Igetg «.ectgy-tg8.tg68):(@d -F8+yY+8) . 0. 0... (1e)
So findet man in dem von Kapitänleutnant Kurtz behandelten extremen Falle:
a = 6° 225.07 log cot = (975453 @ =— 000136
8 = 5° 27 54,5” « tang = 8.980799 ff = 119
Y = 5° 80 837.0 « cot” = 1.015607 Yı= 120
= 6° Y 22,5” < tang = 9.025703 Y = 136
3, — 9.997562 zZ — 0.000511
0.0— 3 — 0.002438 E nat
Der richtige Wert ist 47’ 46”.
Kürzer ist auf direktem Wege & aus (1) oder (1a) abzuleiten, wie es
in anderer Form von Böhler geschehen ist,
Setzen wir
d-hy = 28 B-Ha= 28
$— 7 = 2u B—a= 2W
ö= s+4u, Yy=s-—u, 8= WW, a= 8 —W,
cos (d—8) _ cos (s + (u — 8) ___ cos s - cos (u — £) — sin s - sin (u — $)
cos (y-+- 8) cos (s —(u— 8) 6085 cos (u — £) + sin s - sin (u — £)
cos (8 — &) __ COS ( +W—£ )) __ cos 8' + cos (W — £) — sin 8' «sin (W' — £)
- cos (a LE) os (s— WW — 8) cos 8’. cos (W — 8) Hsins -sin(W— 8)
Daraus folgt nach Aushebung des gemeinsamen Faktors cos s-cos (u — $&),
bzw. cos 8’ - cos (u — £)
1—tgs.tg(u— 3) , 1—tg8'.tg W— SD)
m = 1+tgs-tg(u—$) und m’ = 1+igs.tg(W—£)
Beachtet man, daß tgs-tg(u—6€) und tgs'- tg (u — 5) kleine Größen
sind, so kann man setzen
n= 1—32tgs-tgu —8--2tg?s .tg?(u —E)—... = [1—tgs -tg(u — 5}
mn = 1—32ig8.tgW—E8-+2tg?8.tg?W—H-—...= [1 Tr Sa
a = 11 +tgs «tg (u — 5]; = [1+tgs'-tg(u'—8)]?
u—E bzw. U — & ist nur von m und s bzw. m’ und 8’ abhängig, läßt
sich daher leicht in eine kleine Tafel mit den Argumenten m und s oder m’
und 8’ bringen. Wie wir weiter sehen werden, wird es genügen, nur sec (u — £)
bzw. see (u — &£) zu tabulieren. Da der Winkelwert in den hier vorkommenden
Fällen 135’ nicht überschreitet, wird die Tafel sehr klein werden müssen.
Die vernachlässigten Glieder der Reihen berücksichtigt man dadurch, daß
man zu log m einen log x addiert; log x kann man direkt den Zechschen
Tafeln der Additionslogarithmen entnehmen mit dem Argument log m, Wie
sich leicht zeigen läßt, hat man dafür die beiden letzten Stellen des Additionslogarithmus
zu nehmen.
Um die erforderlichen Vereinfachungen herbeizuführen, geben wir den
Gleichungen (2) und (2a) eine andere Form. Unter Berücksichtigung der
obigen Summen und Differenzen wird
cos (y-}—$) __ cos [s— u —8) __ cos 8 - cos (u — £) + sin s - sin (u — £)
zan(6L%) 2sins.coss 28ins-coss a
cos (u — 3) 1 1
"Ysins ‚(1 -+igs-tg (a — 8) - Z sin s - sec (u — 8) Im- X
1 sin (@« +8) 1
5°" Sina "sins- sec(iu— &)-.VYm-x
