Teege, H.: Zur Höhenberechnung.
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Fehler des Endresultates, wie oben als Norm hingestellt worden ist, 2‘ nicht
überschreiten soll, für den ungünstigsten Fall die Numeri vier richtige Stellen
und eine bis auf eine halbe Einheit genaue abgekürzte fünfte Stelle enthalten,
d. bh. es müssen zu den Logarithmen die Numeri fünfstellig gegeben sein. Das
ist aber in einer Tafel möglich, die bei kleinem Format nicht mehr als zwei
Seiten umfaßt, bei großem aber auf eine Seite zusammengedrängt werden kann.
Vom Logarithmus stehen die beiden ersten Stellen links, die dritte am Kopfe,
die vierte auf einer kleinen Tafel rechts, die den’ entsprechenden Zuwachs. der
Numeri in Einheiten der fünften Stelle gibt.
Im Grunde genommen ist dies aber nur eine verhüllte Interpolation, und
wenn auch. die Anordnung sehr bequem ist, so müssen wir hier schon aus dem
Grunde von ihr Abstand nehmen, .weil .fünfstellige Zahlen verwandt werden.
Man kann aber auch mit vierstelligen oder gar dreistelligen Numeri aus-
kommen; nur gestaltet sich dann die Rechnung länger, Da hier aber nur die
Möglichkeit gezeigt werden soll, die Interpolation zu umgehen, so mag der
dahin führende Weg kurz angegeben werden, .
Zunächst können. die in. Frage kommenden Logarithmen sich schon in
der ersten Ziffer nach dem Komma unterscheiden; bei den in der Praxis. zu
erwartenden Höhenunterschieden: von höchstens 30‘ ist das aber mur dann
möglich, wenn die Kennziffer 2 oder weniger beträgt. Dann genügen aber
vierstellige Antilogarithmen vollkommen, um den Unterschied der num log bis
auf 0,1‘ genau anzugeben. ;
Unterscheiden sich die Logarithmen aber erst in der zweiten oder den
folgenden’ Stellen nach dem Komma, so.verfährt man folgendermaßen:
Ist log a — log b = d bekannt, so ist
log (a — b) = log b-+log (1).
Aus Tafeln für Subtraktionslogarithmen kann man also zu dem bekannten
log T == d den Wert von log (+— 1) entnehmen und so durch eine dreistellige
oder vierstellige Rechnung den Höhenunterschied finden. Die erforderliche Tafel
braucht nur 1000 Argumente zu umfassen, kann also bequem auf zwei Seiten
zusammengedrängt . werden. . Länger wird auch. die daneben erforderliche Tafel
der Antilogarithmen nicht.
Es kommt also alles auf eine möglichst genaue Berechnung von d an,
da dessen Ungenauigkeit ausschließlich die ersten Stellen nach dem Komma des
log (a — b) beeinflußt. Da aber, wie der Anblick der Formel III zeigt,
d = jogeos 4 LES og cos OD geek
+ log cosec zu = + log cosec iA)
ist, so kann die Ungenauigkeit von d im Maximum drei Einheiten der vierten
Dezimalstelle betragen, wenn nur Tafeln verwandt werden, die die vierstelligen
Werte von log cos und log tang geben, und dementsprechend gestaltet sich auch
die. Genauigkeit der logarithmischen Rechnung. Es ist nun ein sehr glücklicher
Umstand unserer Methode, der bei keiner anderen in gleichem Maße’ wiederkehrt,
daß der aus der logarithmischen Rechnung resultierende Fehler gerade dann
am kleinsten ist, wenn der sich aus der Abrundung von g, d und t auf volle
Bogenminuten ergebende Fehler am größten ist, und umgekehrt. Man würde
sich aber in ‚außerordentlich umständliche Rechnungen verwickeln, wollte man
dies durch direkte Ableitung der Maximum- und Minimumbedingungen ‚nach:
weisen; doch‘ kann’ man leicht eine kleine Tabelle berechnen, in der ‚beide
Fehler voneinander gesondert sind, und so die Richtigkeit der obigen Be-
hauptung erhärten,“ .
Wenn a—b =D und log a'— log b==d ist, wo a und b.nicht sehr von-
einander verschieden sind, so folgt
og ( 1 +9) =d
Ann. d. Hydr ete., 1903, Heft XI.
