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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1903. 
Gleichung 16 und 17 sind von Lambert in „Beiträge zum Gebrauch der 
Mathematik“, 1. Band S. 417. (1765) gegeben. Dasselbe Verfahren wendet 
Lambert auch auf die Gleichung: 
co82 = 2+008 + 008 d'+c08® 5 — cos @ +) an. 
In dem Bodeschen „Astronomischen Jahrbuch“ für 1778 sind wohl zuerst 
die Gleichungen 8 und 13 (S. 213) von Lambert gegeben, Gleichung 1 auf 
S. 221 wird zuerst von Euler in „Memoires de l’Academie Royale des sciences 
et belles lettres“, Bd. IX, S. 253, Berlin 1755, aufgeführt. Gleichung 2 auf S. 221 
wird von Bode in „Sammlung astronomischer Abhandlungen“ 1. Supplement- 
band zu dessen „Astronomischen Jahrbüchern“, Berlin 1793, bei der Begründung 
der Douwesschen Methode mehrfach gebraucht. Die Namen Sang und. Pesci 
auf S. 221 sind daher durch Euler und Bode zu ersetzen. Gleichung 31 auf 
S. 215 ist wohl die älteste Form und wird in den mathematischen Lehrbüchern 
vom Anfang des 18. Jahrhunderts als von Regiomontan stammend aufgeführt. 
Gleichung 32 habe ich zuerst in Bodes „Astronomischem Jahrbuch“ für 1778 
gefunden, wonach auch die erste Höhentafel entworfen ist. Unger erwähnt in 
„Trigonometrie“ bei der Ableitung der von Gauss, Mollweide und Delambre 
fast zugleich gefundenen Analogien, daß man auch Formeln für die Tangente 
der ganzen Seite ableiten könne, die aber unbequemer seien als diejenigen für 
die Tangente der halben Seiten. Wahrscheinlich sind damit die Analogien 
von Sniardecki gemeint. 
Aus den von mir S. 213 bis 215 aufgeführten Gleichungen lassen sich 
noch eine Reihe anderer Formeln ableiten unter Benutzung der Relationen 
1+tangx = sin (x +45°).V2.seex und 
1—tang x = cos (x + 45°). V 2 -sec x. 
Für vierstellige Rechnung geeignet sind nur die Formeln 3, 4, 8 und 9. 
Die Rechnung muß auf Zehntel Minuten durchgeführt werden. Durch die 
Ungenauigkeit der logarithmischen Rechnung können im Hilfswinkel Fehler bis 
zu 1‘ entstehen, die jedoch dann nur geringen Einfluß auf das Resultat ausüben 
werden, wie sich leicht durch Differentiation ergibt. KEin Beispiel möge die 
Rechnung nach diesen Methoden veranschaulichen. 
Gegeben: 
= 14942 N; d = 17°40'’N; t = 6b 11min 20sek, 
4.1) 
3.1) 
it = 6h 1ı1min J0sek ]og sem = 9,7199 
D= 14° 42 N 10g cos = 9,9855 
d= 17°40'N log cos = 9,9790 
p—d= 2° 58 log cosec = 1,2860 
2 log = 0,3010 
x 86° 56,2’ logtang = 1,2714 
— 0x =— 89° 54,2 
D— 02x = 176° 50,4 
Hilfswinkel wie bei 3. 
o—d = 2° 58' log sem = 6,8261 
x= 86° 56,2 log sec? — 2,5441% 
log sec! — 5,54563) 
log sin = 8,7414 md IxX = { 176° 50,4 _ log sem — 9,9997 
og tang® = 3,0010 * | 115 47min 20sek Tog sem? == 9,3699 
log tang = 1,50005 z = 88° 10,8‘ log sem = 9,68495 
9, 
zZ — 88° 11,5' 
8. 12b.—t = 54 48min 40sek ]ogsem = 9,6770 
= 14°42 N log cos = 9,9855 
d= 17° 40 N log cos = 9,9790 
+ = 32° 22 log cosec = 0,2714 
2 ___10g = 0,8010 
X = 31° 25,7 log cotang = 0,2139 
Y+d—x = 0° 568 
ax — (0-0) — 30° 29,4 
Hilfswinkel wie bei 8. 
log sin — 9,7286 F. Sr log cos = 9,9824 
x = 31° 25,7' log cosec = 0,2828 
log cosec? = 3,57163% x es = 15° 14,7‘ logsin = 9,4199 
_ log sin == 9,7054 logsem = 9,6851 
log tang? = 3,0056 % = 88° 12,0‘ 
2 = 88° 12,0 log tang = 1,5028 
Nach genauerer Rechnung ist z = 88° 11,86‘. 
1) Das Beispiel ist sehr ungünstig gewählt. Der fünfstellige Wert von log tang x ist 1,27157, von log sem? ist er 9,3701# 
Das Beispiel stellt daher einen Fall dar, wo die logarithmische Ungenauigkeit fast einen Maximalwert erreicht, 
% Nach Bolte, „Nautische Tafelsammlung“, Tafel 44, mit dem Argument log tang? x = 2,5428 
3) Nach Bolte, „Nautische Tafelsammlung“, Tafel 40.