Teege, H.: Zur Höhenberechnung. 
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1. Das von Herrn A. Wedemeyer mit 19) bezeichnete Formelsystem 
int co nt ger x, wenn x < 45°, 
2 2 2 
‚op—d LI © 
= ein? —— »co8® = «cosec? x, wenn x > 45°, 
tang2 x = sin P 9 won Lose 3 ist, und 
? 2 2 : 
2. die vom Verfasser in Heft IV der „Ann. d. Hydr. etc.“, Jahrg. 1903, 
gegebene Formel . 
zı + +8, z.—@+9, ‚ob 5 zz, +—0 * z, —(g—0) at 
2 cos 93 cos TU 81N' 2 _ 2 sin Da 831n a » cos 7 
cos h, sin 1° ; cos h, - sin 1 ) 
und zwar ist nach Herrn A. Wedemeyer der Maximalfehler der Höhe bei 
vierstelliger logarithmischer Rechnung, der aus der Abrundung der letzten 
Stellen der Logarithmen entspringen kann, 
im ersten Falle für h = 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 
gleich 1,2‘ 1,0° 0,8‘ 0,7' 0,6‘ 0,4' 0,3' 0,2' 0,1' 0,0 
N 
und 
im zweiten Falle für h = 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 
gleich 1,2‘ 1,2' 1,1' 10° 0,9 0,8' 06° 0,4 02' 0,0. 
Nach diesem Resultate müßte also die direkte Rechnung nach der ersten 
Formel im ganzen genauere Resultate liefern als die indirekte Rechnung nach 
der zweiten Formel. Das würde aber meiner früheren Behauptung widersprechen, 
nach welcher die unter 2) angeführte Formel an Schärfe der Rechnung alle 
anderen Formeln übertreffen soll. Wenn ich mir nun auch vorbehalten muß, 
an späterer Stelle auf die Darlegungen des Herrn A. Wedemeyer zurück- 
zukommen, um meine KEinwürfe gegen seine Ausführungen eingehender zu 
begründen, so mag doch schon hier als Haupteinwand hervorgehoben werden, 
daß bei der Abschätzung des Fehlers nicht mit gleichem Maße gemessen wird. 
Im ersten Falle werden nämlich. die Logarithmen der Quadrate der trigono- 
metrischen Funktionen direkt den Tafeln entnommen, während im zweiten 
Falle, wenigstens wie die Formel oben geschrieben worden ist, nur die Logarithmen 
der einfachen Funktionen aufgeschlagen werden sollen. Daß aber durch das 
erste Verfahren der Fehler auf die Hälfte herabgedrückt werden muß, liegt auf 
der Hand. Natürlich steht aber nichts im. Wege, sich desselben Vorteils auch 
bei der zweiten Formel zu bedienen, wenn man nämlich nur Tafeln benutzt, die 
die Logarithmen der Quadrate der trigonometrischen Funktionen geben, und 
man kommt so zu dem Resultat, daß — unter gleichen Umständen — selbst 
im ungünstigsten Falle die von mir gegebene Formel in Bezug auf den Fehler 
der logarithmischen Rechnung ungefähr die doppelte Genauigkeit gestattet wie 
das Formelsystem unter 1). Dies ließ auch schon meine frühere Berechnung in 
den „Ann. d; Hydr. ete.“, 1903, Heft IV, erkennen. Für gewöhnlich ist aber 
die durch Formel 2) erreichbare Genauigkeit weit größer. 
Im Grunde kommt die von Herrn A. Wedemeyer befolgte Art der 
Berechnung auf die Einführung einer kleineren Logarithmenbasis, nämlich V10, 
hinaus. Dadurch werden die Logarithmen gegen Anderungen der Numeri 
gleichsam empfindlicher gemacht, denn es ist klar, daß bei einer kleineren 
Basis Logarithmen von einer geringeren Stellenzahl dasselbe leisten können 
wie solche von größerer Stellenzahl nach einer größeren Basis. Das führt mich 
nun’ zu dem, wie ich glaube, sehr bemerkenswerten Vorschlage, die für die 
gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen entschieden zu große Basis 10 durch 
eine viel kleinere zu ersetzen, nämlich Yn Dann leistet eine vierstellige 
Rechnung genau dasselbe, wie eine fünfstellige Rechnung mit Logarithmen ‚zu 
der Basis 10; zudem sind die neuen Logarithmen sehr leicht zu berechnen, 
da sie aus den alten dadurch erhalten werden, daß man das Komma eine Stelle 
nach rechts setzt und die Vorziffer wegläßt. Allerdings muß man jetzt die 
negative, sonst gewöhnlich ergänzte Kennziffer, die in den alten "Tafeln stets