Teege, H.: Über ‚ein. direktes Verfahren. zur Berechnung des Höhenunterschiedes etc. 159 
und einer Änderung von h‘um 1‘ entspricht: eine Änderung des Logarithmus um 
28 Einheiten der letzten Stelle, also eine Anderung, die, ebenso grofs ist: wie 
die Änderung des log. sin bei 25°. Nun nimmt aber die Anderung des log sin h 
mit wachsendem Winkel ab, während die Änderung von log x ‚wächst, so 
dafs von 25° an unsere Formel stets genauere Rechnungsresultate geben mufs 
als eine Formel, nach der erst sin h berechnet wird. Ist h kleiner als 25°, so 
können allerdings Fälle. vorkommen, in denen die Genauigkeit unserer Formel 
übertroffen wird; aber selbst in dem Fall, yo h = 10° und @ und d ihre ungün- 
stigsten Werte 0 haben, entspricht einer Anderung der Höhe um 1‘ noch. eine 
Änderung von log A um 26 Einheiten der fünften Dezimalstelle, während 
allerdings log sin 10° sich um 72 Einheiten ändert. ‚Eine Änderung: von 26 Ein- 
heiten der fünften Stelle oder von 2,6 Einheiten der vierten Stelle ist aber voll- 
kommen hinreichend, um selbst bei Rechnung mit vierstelligen Logarithmen- 
tafeln noch eine Genauigkeit bis auf Bruchteile einer Bogenminute zu gewährleisten. 
Solange aber der Stundenwinkel kleiner als 3* oder sich von 12" um diesen 
Betrag unterscheidet, — und solche Fälle kommen in der Praxis vorwiegend 
vor — gibt unsere Formel bei weitem die genauesten Resultate, wie folgendes 
Beispiel zeigt, das als letztes von Herrn Dr. Fulst in seiner oben zitierten 
Arbeit behandelt worden ist. 
= 62° 30° 
d— 38° 42 
1lb 45 min 18 sek 
DA = 11° 28' 
4= 78° 32' 
ze Ed 890 59 
2 
Pd ZZı _ 410 30 
BC) 
aba 9 10 
2 
zZ, — (q—0) = 27° 22 
2 
log sin 51° 10‘ = 9,8915 
log sin 27° 22' = 9,6625 
log cos® + = 7,0121 
6,5661 
2 . 
log cosh, «sin 1‘ 3,846 
0,412 
“ Jog 2,58 = 0,4116 
«0,7917 
log 15,97 = 1,2038 
bh, — bh = 18,89. 
Die Rechnung mit siebenstelligen Tafeln gibt h, —h=13' 24,2“. 
HL 
log cos 89° 52' = 7,3668 
log cos 11° 20' = 9,9914 
log sin? £ = 9,9996 
Allerdings mufs anerkannt werden, dafs das eben gewählte Beispiel zu 
den extremen Fällen gehört, in denen sich die Rechnung nach der Formel III 
besonders genau gestaltet; immerhin verdient es hervorgehoben zu werden, dafs 
bei einer Rechnung nach unserer Methode einer Anderung der Höhe um 1‘ eine 
Änderung des Logarithmus um beinahe 600 Einheiten der vierten Stelle ent- 
spricht, während bei der gewöhnlichen Berechnung von sin h die Anderung 
weniger als sieben Einheiten der vierten Stelle beträgt. ; 
Zum Vergleiche müssen ferner noch die Formeln herangezogen werden, 
welche die Zenitdistanz z zu berechnen gestatten. Diese Formeln geben direkt 
Zi da aber die Zenitdistanz aus dem aufgeschlagenen Winkel durch Multi- 
plikation mit 2 berechnet werden mufs, so darf bei einem Vergleiche der Ge- 
nauigkeit der verschiedenen Formeln nur die Hälfte der Änderung von log sin 5 
in Anschlag gebracht werden. Diese Formeln geben ferner um so genauere 
Resultate, je kleiner z ist; da aber in der Praxis schwerlich gröfsere Höhen 
als 80° genommen werden, so genügt es, die Genauigkeit. der betreffenden 
Formeln bei dieser Höhe zu vergleichen. Für h = 80° wird nun 
log oh, — 2,47491, 
und einer Änderung von h um 1’ entspricht eine Änderung des log Ze um 
145 Einheiten der fünften Dezimalstelle, während entsprechend die Hälfte.der 
Änderung von log sin 5° nur 72 Einheiten beträgt. Unsere Formel erweist sich 
also in Bezug auf Genauigkeit als überlegen, und das mufs auch, wie man leicht 
einsieht, für Höhen gelten, die kleiner als 80° sind...