Exner, M. F.: Über oszillierende Strömungen in Wasser und Luft, 159 
Man könnte daher daran denken, einen gewundenen Fluß aus zwei 
oszillierenden Strömungen zu kombinieren, indem man zwei Strombilder wie.in 
Fig. 1 mit den Wellenköpfen gegeneinander kehrt. Es müßten dann die Ufer 
z. B. durch zwei Stromlinien wie die Linie 2 dargestellt werden, während die 
Mittelstromlinie gemeinsam durch 3 gebildet würde. Doch läßt sich die Be- 
dingung für die Koexistenz der beiden Ströme, daß nämlich der Druck in ihnen 
an der Grenzfläche der gleiche werde, nicht genau erfüllen. Wir kommen auf die 
Flußbewegung noch später zurück und wollen nur noch anmerken, daß ohne 
äußere Kräfte die Mäanderbewegung des Flusses mit Wirbeln verbunden sein muß. 
II. Stationäre Wellen unter Wirkung der Schwerkraft, 
Drehen wir unser Koordinatensystem so, daß x horizontal und y vertikal 
nach abwärts zeigt, und lassen wir an äußeren Kräften die Schwere Y=g zu, 
so wird die Druckgleichung 
_ e Hög\ , (dg\ ; 
p=P+egy-$[62) +62] 
Die Differentialgleichung: für @ bleibt dieselbe wie früher, so daß auch die 
Bewegungsformen die gleichen sind. 
Eine Flüssigkeit, die unter Wirkung der Schwere horizontal strömt; zeigt 
bekanntlich an ihrer freien Oberfläche Wellen, die insbesondere Helmholtz 
studiert hat, Wenn Flüssigkeiten verschiedener Dichte übereinander gelagert 
sind, so kommen die Wellen an der Grenzfläche derselben zustande. Wir nehmen 
zwei Flüssigkeiten an, die übereinander liegen, und können dann unsere Gleichungen 
auf jede derselben anwenden. An der Grenzfläche aber muß: 1. die Stromfläche 
der unteren mit der der oberen zusammenfallen; 2. der Druck beider Flüssig- 
keiten der gleiche sein. Helmholtz hat gezeigt, daß sich aus diesen Bedingungen 
die Länge der Wellen, welche die Grenzfläche bilden, zu den beiden Strömungs- 
geschwindigkeiten in Beziehung setzen läßt. . Im folgenden ist eine kleine Erwei- 
terung dieser Theorie gegeben. 
Bei Abwesenheit von Wellen liegt die Grenzfläche horizontal in. y= 0, 
Die untere Flüssigkeit ströme in der Tiefe y = hh stets horizontal, die obere in 
der Höhe y= -—h', Dann ist: Ä 
h— —ah— 
= Ax—Beosaxle“ Pig “ x) 
h' — a (+ 
PO’ = A'x— Brcosax(e“‘ ta. 0 7) 
Die gestrichelten Größen beziehen sich auf die obere Flüssigkeit. Da 
io früher u= 22 = zz 90 orhö | 
wie früher u= 55 = sy Vs ie erhält man: | 
; h— —ach— 
Y = Ay—Bsinax ( 7 « ” = K, 
hr’ — ah’ 
= A'’y-+B’sin ax (et + | a K/. 
Für, die Stromlinie, die den Punkt x=y=0 passiert, ist K=K'==0, 
Sie hat in den beiden Flüssigkeiten die Gleichungen zu erfüllen: 
Bo. (Ab —4 (h—)) 
Y = A Sin axle —e ) 
BB. (A a4) 
Yy = — AS ax \e — € B 
Genau werden diese Stromlinien einander niemals gleich. Man kann aber 
in. den Potenzen y angenähert null setzen. und hat dann als Bedingung dafür, 
daß die Grenzfläche sowohl eine Stromlinie der unteren wie der oberen Flüssig- 
keit ist, die Gleichung: 
B/4eah —al B'(eWN ab" 
ze — € )= Bl — a 
(1}