Reuter, W.: Ueber die Benutzung der Mercatorschen Funktion. 
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achtungen am besten Genüge leistet, liegt so, dafs die Summe der Quadrate 
seiner Abstände von den drei Standlinien den kleinsten Werth hat. Sind A, B 
und C die Schnittpunkte der drei Standlinien, und ist P der Punkt der so liegt, 
dafs die Summe der Quadrate seiner Abstände von den Seiten dieses Dreiecks 
kleiner ist wie die Summe der Quadrate der Abstände irgend eines anderen 
Punktes von den Seiten, so verhalten sich die Abstände von den Seiten zu ein- 
ander wie die Seiten des Dreiecks.‘ Bezeichnet man also die Seiten des Dreiecks 
(in Seemeilen) mit a, b und c, die Abstände PQ, PR und PS des Punktes P 
von den Seiten entsprechend mit x, 8 und y, so verhält sich: 
«:ß:ıy= a:bı:c 
Die Fläche des Dreiecks ABC sei F, dann ist auch: 
2F=a4-+b)-Eey 
Aus Gleichung (1) folgt: 
a BOX 
a bo 8 
faN 
Also auch: 
a«__ bß_ey_«_B_ 7 
ar BR Rd a be 
Und daher: 
aa«tbß+ey_ a _B_Z/ 
a+L-+O Ua bc 
Hieraus ergiebt sich in Verbindung mit Gleichung (2): 
a FF 
«74 OR 
2F 
da a + 62 
a 2F 
YA E 
Die Summe der Fehlerquadrate ist demnach: 
4 F? 
ar A 
af By a2 b8-4- ct 
Hier sind @, ß und y die Fehler der Höhen, um welche diese geändert 
werden müssen, damit sich die drei Standlinien in einem Punkte schneiden, Im 
obigen Dreieck ist AB = 10,50, BC = 4,28 und AC = 7,88 Sm. Die Rechnung 
giebt damit: « = 0,66‘, #ß = 1,21’ und y = 162. Die Summe der Quadrate 
wäre: a? + 6? + 7" = 4,65. Die Berechnung der Lage des Punktes P und der 
Höhenfehler wird allerdings in anderer Weise durchgeführt; auch müßte, streng 
genommen, wenn die Lage von P berechnet ist, für diesen Punkt die Lage der 
Standlinien nochmals berechnet werden, um schliefslich die übrig bleibenden 
Fehler zu erhalten. 
Herr Professor Weyer hat in den Annalen (Jahrgang 1886, Heft I und 
folgende) für diesen Fall eine Lösung durch Zeichnung gegeben, die in gleicher 
Weise auch von Kapt.-Lt. Rottock angewandt ist. Das Verfahren besteht darin, 
dafs man auf den Seiten des Dreiecks Lothe errichtet, auf diese gleiche Bruch- 
theile der betreffenden Seiten abträgt, dann durch diese Punkte Parallelen zu 
den Seiten zieht, wodurch ein dem Dreieck ABC ähnliches Dreieck entsteht. 
Verbindet man nun die entsprechenden Ecken beider Dreiecke, so ist der Schnitt- 
punkt dieser Linien der Punkt P. ; 
Diese Lösungsmethode giebt aber keinen Aufschlufs über die Lage des 
Punktes P innerhalb des Dreiecks ABC. Die folgende Lösung zeigt dagegen, 
wie die Lage des Punktes P von der Form des Dreiecks, welches durch die 
Schnittpunkte der Standlinien gebildet wird, abhängig ist. Man kann beweisen, 
dafs die Linie, welche eine Ecke des Dreiecks ABC mit dem Punkte P ver- 
bindet, die Gegenseite in zwei Abschnitte «theilt, die sich wie die Quadrate der 
den Abschnitten anliegenden Seiten verhalten. Bestimmt man also auf zwei be- 
liebigen Seiten je einen Punkt, dessen Abstände von den Endpunkten der be- 
treffenden Seite sich wie die Quadrate der anliegenden Seiten verhalten, und