Fulst, O.: Zur Höhenberechnung 
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. Um -Irrthümern vorzubeugen, möge hier noch besonders betont werden, 
dafs man bei dieser Berechnung @ -+d und nicht, wie bei den meisten Berech- 
nungen, @# — d zu bilden hat. Sind @ und d also gleichnamig, so muß man 
sie addiren, während man sie subtrahiren muß, wenn sie ungleichnamig sind. 
Mit vierstelligen Logarithnen kommt man bei der Ausführung der Rechnung 
nicht aus, sondern mufs sich unbedingt fünfstelliger Logarithmen bedienen. Eine 
nicht unwesentliche Abkürzung der Rechnung folgt aber aus der Ueberlegung, 
dafs die Summe S bei den in Wirklichkeit vorkommenden kleinen Werthen von 
Az fast stets so klein wird, daß man nicht nöthig hat, alle fünf Stellen der 
Logarithmen niederzuschreiben. Wir werden sehen, dafs wir nicht nur die Kenn- 
ziffer, sondern auch fast immer die beiden ersten Stellen der Mantisse wegwerfen 
können, und dafs wir nur in seltenen Fällen die zweite Stelle der Mantisse mit 
zu Rathe. ziehen müssen. Mit Hülfe einer geschickt eingerichteten Tafel würde 
also die Berechnung ebenso bequem wie mit Hülfe vierstelliger Logarithmen 
sein, ja in den bei Weitem ‚meisten Fällen noch ungleich bequemer, da von 
jedem Logarithmus nur drei Ziffern gebraucht werden. 
Um mit den drei letzten Stellen der Logarithnen auskommen zu können, 
mufßs man sicher sein, daß die Summe S der fünf Logarithmen oder, was das- 
selbe ist, das Produkt mAz kleiner als 500 ist (die fünfstellige Mantisse als 
ganze Zahl betrachtet), weil man sonst nicht entscheiden kann, ob S positiv oder 
negativ ist. Nimmt man an, dafs der Höhenunterschied Az unter normalen 
Verhältnissen nicht gröfser als 25‘ sein wird, so folgt daraus, dafs m kleiner als 
20 sein mul, um sich mit den drei letzten Stellen begnügen zu können. Diese 
Bedingung ist stets erfüllt, wenn z kleiner als 70° ist. Ist also 5 gröfser als 
70° oder ist das Besteck sehr unsicher, so mufs man die vier letzten 
Stellen der fünfstelligen Mantisse zur Berechnung gebrauchen, 
während man sonst mit den drei letzten Stellen auskommt. 
Ist die mit Hülfe dieser abgekürzten Zahlen berechnete Summe S gröfser 
als 500 bezw. 5000, so ist sie als negativ aufzufassen. und muß demnach von 
1000 bezw. 10000 subtrahirt werden (vgl. Beispiel II). ; 
Es soll nun untersucht werden, welche Genauigkeit sich bei Benutzung 
Rechenmethode erzielen läfst. 
Schließen wir Höhen von über 75°, die sich für die Standlinien wenig 
eignen, von unserer Betrachtung aus, so ergiebt sich für m der kleinste Werth 
= 1,7. Es ist nun zunächst klar, dafs es bei einem so kleinen Werthe nicht 
genügen würde, wollte man ihn auf eine ganze Zahl abrunden, da sonst der 
Quotient zu ungenau werden würde. Man ist also gezwungen, die Minuten- 
unterschiede des log cos, wenigstens wenn sie nur klein sind, auf Zehntel anzu- 
geben. Die in den gewöhnlichen nautischen Tafeln angegebenen Unterschiede 
genügen also nicht. Unter dieser Annahme wird der Fehler in m kleiner als 
0,05 sein, woraus man folgern kann, dafs der hieraus resultirende Fehler in dem 
zu berechnenden Höhenunterschiede kleiner sein mufs als 005 . 3 oder A . AZ, 
also, da m im ungünstigsten Falle 1,7 ist, stets kleiner als 0,03 Az, so daß erst 
bei einem Höhenunterschied von 33‘ ein Fehler von 1‘ entstehen könnte. Bei 
größerem Werthe von m ist der Fehler natürlich entsprechend kleiner. Der 
durch die Ungenauigkeit von ın entstehende Fehler ist also ganz ohne Bedeutung. 
Die Summe S der fünf Logarithmen ist ebenfalls ungenau, und zwar kann 
der Fehler im Maximum 2,5 betragen, dem bei einem Werthe von m = 1,7 ein 
Fehler von 1,5‘ entsprechen würde. Es ist aber klar, dafs dieses Maximum So 
gut wie niemals erreicht wird. In einem im April 1895 in dieser Zeitschrift 
veröffentlichten Aufsatz: „Ueber die Berechnung nautisch-astronomischer Aufgaben 
mit Hülfe vierstelliger Logarithmen“ habe ich berechnet, dafs der Fehler einer 
Summe von fünf Logarithmen unter 1000 Fällen z. B. nur 5mal größer als 1,7, 
nur 200mal gröfser als 0,85 ist. Hieraus folgt für unsere Aufgabe, dafs selbst 
für den ungünstigsten Fall m = 1,7 bei 200 Berechnungen nur einmal ein Fehler 
zu erwarten ist, der größer als 1’ ist, und dafs der Fehler bei fünf Aufgaben 
vermuthlich viermal kleiner als 0,5' ist. Auch hier wird der Fehler bei wachsendem 
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